Etudier la continuité d'une fonction valeur absolue Exercice

\begin{cases} f\left(x\right)=x-2 \text{ si }x\geqslant2 \cr \cr f\left(x\right)=-x+2 \text{ si }x\lt2 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=x-2 \text{ si }x\geqslant0 \cr \cr f\left(x\right)=-x+2 \text{ si }x\lt0 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=x-2 \text{ si }x\geqslant2 \cr \cr f\left(x\right)=-x-2 \text{ si }x\lt2 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=x-2 \text{ si }x \lt 0 \cr \cr f\left(x\right)=-x+2 \text{ si }x\geqslant0 \end{cases}

La fonction f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;0 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to 0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] \dfrac12;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;\dfrac12 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to 0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to2^-}f\left(x\right)=f\left(2\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.