Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution Exercice

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=4x^2-2x+1

Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] ?

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est continue
f est strictement décroissante
f\left(-3\right)=43 et f\left(0\right)=1, avec 2\in\left[1;43 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est strictement décroissante
f\left(-3\right)=43 et f\left(0\right)=1, avec 0\in\left[-3;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est continue
f est décroissante sur \left[ -3;-\dfrac{1}{4}\right] et f est croissante sur \left[-\dfrac{1}{4};0\right]
f\left(-3\right)=43 et f\left(0\right)=1, avec 2\in\left[1;43 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(-3\right)=43 et f\left(0\right)=1, avec 0\in\left[-3;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=3x^2+8x-3

Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] ?

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=25, avec 5\in\left[-3;25 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est continue
f est strictement décroissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=25, avec 5\in\left[-3;25 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est définie
f est strictement croissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=25, avec 5\in\left[-3;25 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est définie
f est strictement décroissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=25, avec 5\in\left[-3;25 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;25 \right].

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=6x^2-3

Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] ?

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=21, avec 0\in\left[-3;21 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est continue
f est croissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=21, avec 0\in\left[0;2\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est dérivable
f est strictement croissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=21, avec 0\in\left[0;2\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;21 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :

f est continue
f est croissante
f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=21, avec 0\in\left[-3;21 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=-3x^2+6x-1

Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] ?

Sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] :

f est continue
f est strictement décroissante
f\left(1\right)=2 et f\left(3\right)=-10, avec 1\in\left[-10;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] :

f est dérivable
f est strictement décroissante
f\left(1\right)=2 et f\left(3\right)=-10, avec 1\in\left[1;3 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(1\right)=2 et f\left(3\right)=-10, avec 1\in\left[1;3 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] :

f est définie
f est strictement croissante
f\left(1\right)=2 et f\left(3\right)=-10, avec 1\in\left[-10;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -10;2 \right].

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=x^2-3

Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] ?

Sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(2\right)=1 et f\left(4\right)=13, avec 3\in\left[ 1;13 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] :

f est strictement croissante
f\left(2\right)=1 et f\left(4\right)=13, avec 3\in\left[ 1;13 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] :

f est continue
f est dérivable
f est strictement croissante
f\left(2\right)=1 et f\left(4\right)=13, avec 3\in\left[ 2;4 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(2\right)=1 et f\left(4\right)=13, avec 3\in\left[ 2;4 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right].

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=-3x^2+5x+2

Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] ?

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est continue
f est strictement croissante
f\left(-3\right)=-3\times\left(-3\right)^2+5\times\left(-3\right)+2=-40 et f\left(0\right)=2, avec -4\in\left[ -40;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est définie
f est strictement croissante
f\left(-3\right)=-3\times\left(-3\right)^2+5\times\left(-3\right)+2=-40 et f\left(0\right)=2, avec -4\in\left[ -40;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est continue
f est croissante
f\left(-3\right)=-3\times\left(-3\right)^2+5\times\left(-3\right)+2=-40 et f\left(0\right)=2, avec -4\in\left[ -40;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :

f est définie
f est croissante
f\left(-3\right)=-3\times\left(-3\right)^2+5\times\left(-3\right)+2=-40 et f\left(0\right)=2, avec -4\in\left[ -40;2 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].