La continuité sur un intervalle
Continuité d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. f est dite continue en a lorsque :
\lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)
De plus, f est dite continue sur I lorsque f est continue en tout point de I.
Considérons la fonction définie pour tout réel x par :
f\left(x\right)=2x+5
On a :
- f\left(6\right)=2\times6+5=17
- \lim\limits_{x \to 6}f\left(x\right)=17
Donc la fonction f est continue en 6.
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
Soient a et b deux réels (a \lt b). On peut relier les points A \left(a ; f\left(a\right)\right) et B \left(b ; f\left(b\right)\right) sans lever le crayon, donc f est continue sur \left[a ; b\right].
La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2.
- Les fonctions usuelles (affines, polynomiales, inverse, exponentielle, logarithme, puissance,...) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
- Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) ou composée de fonctions continues sur un intervalle I, est continue sur I.
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. En revanche, la réciproque est fausse.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f\left(c\right) = k.
Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation y=k sur l'intervalle \left[a;b\right]
Soit f une fonction continue sur \left[0 ; 5\right] telle que :
- f\left(0\right)=0
- f\left(5\right)=3{,}5
3\in\left[0 ; 3{,}5\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = 3 admet au moins une solution sur \left[0 ; 5\right]. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe nécessairement au moins une fois la droite d'équation y = 3 sur l'intervalle \left[0 ; 5\right].
Sur le graphique ci-dessus, on remarque que la courbe représentative coupe trois fois la droite d'équation y=3.
Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur \left[a ; b\right] et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue et strictement monotone sur \left[a ; b\right], alors pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f\left(c\right) = k.
La fonction partie entière
Partie entière
Soit un réel x. La partie entière de x est l'unique entier relatif E\left(x\right) tel que :
E\left(x\right) \leq x \lt E\left(x\right) + 1
La partie entière de 2,156 est 2.
La partie entière de -2,156 est -3.
Fonction partie entière
La fonction partie entière est la fonction f définie pour tout réel x par :
f\left(x\right) = E\left(x\right)
Soit n un entier relatif et f la fonction partie entière :
- f\left(n\right) = n
- \lim\limits_{x \to n^{-}}f\left(x\right) = n - 1 \neq f\left(n\right)
Ce qui prouve que la fonction partie entière est discontinue en tout entier relatif, comme on le visualise sur sa courbe représentative :
