Etude de la continuité d'une fonction définie en deux fois Exercice

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=1 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

La fonction x\longmapsto\dfrac{1}{x+1} est continue sur \left[0;+\infty\right[, donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\dfrac{1}{x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ et f\left(0\right)=1, donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\dfrac{1}{x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ et \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x+1}=f\left(0\right), donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\dfrac{1}{x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ et \lim\limits_{x\to1}\ f\left(x\right)=0, donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=1 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2}\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

La fonction x\longmapsto\left(x+1\right)^2 est continue sur \left[0;+\infty\right[, donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\left(x+1\right)^2 est continue sur \left]0;+\infty\right[ et f\left(0\right)=1, donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\left(x+1\right)^2 est continue sur \left]0;+\infty\right[ et \lim\limits_{x\to0^-}\ f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right), donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\left(x+1\right)^2 est continue sur \left]0;+\infty\right[ et \lim\limits_{x\to0}\ f\left(x\right)=f\left(0\right), donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 2; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(2\right)=6 \cr \cr \forall x\gt2, f\left(x\right)=2x^2-x\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 2;+\infty \right[ ?

La fonction x\longmapsto2x^2-2 est continue sur \left]2;+\infty\right[ car c'est un polynôme

De plus, 2\times2^2-2=f\left(2\right)

. Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto2x^2-2 est continue sur \left[2;+\infty\right[ car c'est un polynôme.

De plus, 2\times2^2-2 est bien une valeur réelle.

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto2x^2-2 est continue sur \left]2;+\infty\right[ car c'est un polynôme

De plus, \lim\limits_{x\to2^+}2x^2-2 existe et est réel.

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto2x^2-2 est continue sur \left]2;+\infty\right[ car c'est un polynôme

De plus, \lim\limits_{x\to2^+}2x^2-2=\lim\limits_{x\to2^+}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 1; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(1\right)=10 \cr \cr \forall x\gt1, f\left(x\right)=\left(x^2-3\right)\left(1-6x\right)\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 1;+\infty \right[ ?

La fonction x\longmapsto \left(x^2-3\right)\left(1-6x\right) est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to1^+}\left(x^2-3\right)\left(1-6x\right)=\lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto \left(x^2-3\right)\left(1-6x\right) est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto \left(x^2-3\right)\left(1-6x\right) est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right) et cette limite est réelle.

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto \left(x^2-3\right)\left(1-6x\right) est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right)=f\left(1\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=0 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right)\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

La fonction x\longmapsto 2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right) est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right)=f\left(0\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto 2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right) est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto 2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right) est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, \lim\limits_{x\to0^-}\ f\left(x\right)=f\left(0\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto 2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right) est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un produit de polynômes.

De plus, x\longmapsto 2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right) ne s'annule pas quand x=0.

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[1; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(1\right)=-1 \cr \cr \forall x\gt1, f\left(x\right)=\dfrac{2x-4}{x^2+1}\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 1;+\infty \right[ ?

La fonction x \longmapsto \dfrac{2x-4}{x^2+1} est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto 2x-4 ne s'annule pas en 1.

De plus, \lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right)=f\left(1\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

La fonction x \longmapsto \dfrac{2x-4}{x^2+1} est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto x^2+1 ne s'annule pas sur \left]1;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right)=f\left(1\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

La fonction x \longmapsto \dfrac{2x-4}{x^2+1} est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto x^2+1 ne s'annule pas sur \left]1;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to1^-}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

La fonction x \longmapsto \dfrac{2x-4}{x^2+1} est continue sur \left]1;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto 2x-4 ne s'annule pas en 1.

De plus, \lim\limits_{x\to1^+}\ f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to1^-}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[1;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=0 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{x^7}{x^3+2x+1}\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

La fonction x \longmapsto \dfrac{x^7}{x^3+2x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto x^3+2x+1 ne s'annule pas sur \left]0;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right)=f\left(0\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x \longmapsto \dfrac{x^7}{x^3+2x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto x^3+2x+1 ne s'annule pas en 0.

De plus, \lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right)=f\left(0\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x \longmapsto \dfrac{x^7}{x^3+2x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto x^7 ne s'annule pas en 0.

De plus, \lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right)=f\left(0\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction x \longmapsto \dfrac{x^7}{x^3+2x+1} est continue sur \left]0;+\infty\right[ car c'est un quotient de polynômes et x \longmapsto x^7 ne s'annule pas sur \left]0;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to0^+}\ f\left(x\right)=f\left(0\right).

Donc f est continue sur \left[0;+\infty\right[.