La conservation de l'énergie mécanique d'un fluide incompressible qui s'écoule en régime permanent permet d'obtenir la relation de Bernoulli. Cette relation lie les pressions, les vitesses d'écoulement et les profondeurs en plusieurs points du fluide.
Une canalisation alimente en eau potable une habitation. Son profil est le suivant :
Au point A, la pression de l'eau est 6{,}2 \text{ bars}, sa vitesse est 1{,}4 \text{ m.s}^{-1} et les altitudes des deux points sont z_A = 0{,}10 \text{ m} et z_B = 2{,}2 \text{ m}. Au point B, la pression est de 6{,}0 \text{ bar}, en déduire la vitesse de l'eau au niveau de ce point.
On a également :
g=9{,}81 m/s^2
\rho=1000 km/m^3
Rappeler la relation de Bernoulli
On rappelle la relation de Bernoulli, vérifiée par tout fluide incompressible en régime permanent.
La relation de Bernoulli illustre la conservation de l'énergie mécanique, par unité de volume, d'un fluide incompressible qui s'écoule en régime permanent, sans frottements.
La relation de Bernoulli appliquée aux points A et B donne :
p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times v_{(A)}^2 + \rho\times g \times z_{(A)} = p_{(B)} + \dfrac{1}{2} \rho\times v_{(B)}^2 + \rho\times g \times z_{(B)}
Repérer les grandeurs données
On repère les grandeurs données dans l'énoncé.
Ici, l'énoncé donne :
- la vitesse de l'eau au point A : v_{(A)} = 1{,}4 \text{ m.s}^{-1} ;
- les altitudes des deux points : z_A = 0{,}10 \text{ m} et z_B = 2{,}2 \text{ m} ;
- les pressions de l'eau aux points A et B : p_{(A)} = 6{,}2 \text{ bars} et p_{(B)} = 6{,}0 \text{ bars}.
Convertir, éventuellement, certains grandeurs
Le cas échéant, on convertit certaines grandeurs pour qu'elles soient toutes exprimées dans leurs unités légales.
Ici, il faut convertir les pressions car elles ne sont pas exprimées avec leur unité légale, le pascal (\text{Pa}).
- p_{(A)} = 6{,}2 \text{ bars} = 6{,}2.10^5 \text{ Pa}
- p_{(B)} = 6{,}0 \text{ bars} = 6{,}0.10^5 \text{ Pa}
Isoler la grandeur recherchée
À partir de la relation de Bernoulli, on isole la grandeur recherchée.
Ici, il faut isoler la vitesse de l'eau au niveau du point B.
On a :
\dfrac{1}{2} \rho\times v_{(B)}^2 =\dfrac{1}{2}\rho\times v_{(A)}^2+p_{(A)} - p_{(B)} + \rho\times g \times z_{(A)} - \rho\times g \times z_{(B)}
\rho\times v_{(B)}^2 = \rho\times v_{(A)}^2 +2 (p_{(A)} - p_{(B)} + \rho\times g \times (z_{(A)} - z_{(B)} ))
v_{(B)}^2 = v_{(A)}^2+2 (\dfrac{p_{(A)} - p_{(B)} }{\rho} + g \times (z_{(A)} - z_{(B)} ))
D'où finalement :
v_{(B)} = \sqrt{v_{(A)}^2+2 (\dfrac{p_{(A)} - p_{(B)} }{\rho} + g \times (z_{(A)} - z_{(B)} ))}
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique, la grandeur recherchée étant obtenue dans l'unité légale.
Ici, la vitesse de l'eau au niveau du point B sera obtenue dans l'unité légale, le mètre par seconde (\text{m.s}^{-1}).
On a :
v_{(B)} = \sqrt{1{,}4^2+2 (\dfrac{ 6{,}2.10^5 -6{,}0.10^5}{1 \ 000} + 9{,}81 \times (0{,}10 - 2{,}2 ))}
D'où :
v_{(B)} = 0{,}87 \text{ m.s}^{-1}
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique, la grandeur recherchée étant obtenue dans l'unité légale.
Ici, la vitesse de l'eau au point B sera obtenue en mètres par seconde (\text{m.s}^{-1}).
On a :
v_{(B)} = \sqrt{v_{(A)}^2 +2 \ (\dfrac{p_{(A)}-p_{(B)}}{\rho}+ \ g \times ( z_{(A)}- z_{(B)}))}
v_{(B)} = \sqrt{1{,}4^2 +2 \ (\dfrac{6{,}2.10^5-6{,}0.10^5}{1 \ 000}+ \ 9{,}81 \times ( 0{,}10- 2{,}2)}