L'effet Venturi est le phénomène par lequel une diminution de la section d'un écoulement provoque une augmentation de la vitesse du fluide et une diminution de sa pression. La relation démontrant cet effet peut être obtenue à partir de la relation de Bernoulli.
On considère un fluide incompressible qui s'écoule en régime permanent dans une canalisation. La section de la canalisation rétrécit, conformément à l'illustration suivante :
Retrouver l'expression justifiant l'effet Venturi ayant lieu dans cette situation.
Rappeler la relation de Bernoulli
On rappelle la relation de Bernoulli, vérifiée par tout fluide incompressible en régime permanent.
La relation de Bernoulli illustre la conservation de l'énergie mécanique, par unité de volume, d'un fluide incompressible qui s'écoule en régime permanent, sans frottements.
La relation de Bernoulli appliquée aux points A et B donne :
p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times v_{(A)}^2 + \rho\times g \times z_{(A)} = p_{(B)} + \dfrac{1}{2} \rho\times v_{(B)}^2 + \rho\times g \times z_{(B)}
Simplifier la relation de Bernoulli
Généralement, on démontre la relation de l'effet Venturi dans le cas d'un écoulement horizontal, ce qui permet de simplifier la relation de Bernoulli.
Dans le cas d'un écoulement horizontal, on a :
z_A = z_B
Ce qui simplifie la relation de Bernoulli :
p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times v_{(A)}^2 = p_{(B)} + \dfrac{1}{2} \rho\times v_{(B)}^2
Isoler une des pressions
À partir de la relation simplifiée de Bernoulli, on isole la pression du fluide au niveau du point considéré.
Ici, on cherche à déterminer l'expression de la pression du fluide au niveau du point B. On isole donc cette pression :
p_{(B)} = p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times (v_{(A)}^2-v_{(B)}^2)
Écrire la relation liant les deux vitesses
En sachant que le débit volumique d'un fluide s'écoulant en régime permanent est conservé, on écrit la relation liant les vitesses du fluide au niveau des deux points étudiés.
La conservation du débit volumique D tout le long de l'écoulement permet d'écrire :
v_{(A)} \times S_{(A)} = D = v_{(B)} \times S_{(B)}
En déduire l'expression de la pression en un point
On en déduit l'expression de la pression au niveau du point considéré, en fonction de la pression au niveau de l'autre point et des sections de l'écoulement.
Avec la relation précédente, on peut exprimer la vitesse du fluide au niveau du point B avec celle au niveau du point A et des deux sections de l'écoulement :
v_{(B)} = v_{(A)} \times \dfrac{S_{(A)}}{S_{(B)}}
On a donc :
p_{(B)} = p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times (v_{(A)}^2-v_{(B)}^2)
p_{(B)} = p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times (v_{(A)}^2- (v_{(A)} \times \dfrac{S_{(A)}}{S_{(B)}})^2)
p_{(B)} = p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho \times v_{(A)}^2 \times (1-(\dfrac{ S_{(A)}}{ S_{(B)}})^2)
Conclure
On conclut en justifiant la variation de pression du fluide entre les deux points étudiés.
Ici, la section est plus grande au point A, on a donc :
S_{(A)} \gt S_{(B)} \Leftrightarrow \dfrac{ S_{(A)}}{ S_{(B)}} \gt 1
Ainsi, puisque la pression du fluide au point B est :
p_{(B)} - p_{(A)} = \dfrac{1}{2} \rho \times v_{(A)}^2 \times (1-(\dfrac{ S_{(A)}}{ S_{(B)}})^2) \lt 0
On en déduit qu'étant donné que la section du fluide est plus petite au point B qu'au point A, la pression du fluide est bien plus petite au point B qu'au point A.