On étudie la trompe à eau suivante :
Les caractéristiques au point A sont :
- p_A=3{,}0.10^5\text{ Pa}
- v_A=1{,}0\text{ m.s}^{-1}
- S_A=25\text{ cm}^2
- z_A=5{,}0.10^{-2}\text{ m}
Les caractéristiques au point B sont :
- S_B=5{,}0\text{ cm}^2
- z_B=2{,}0.10^{-2}\text{ m}
On cherche à déterminer la vitesse et la pression au point B, et ainsi déterminer si l'effet Venturi est vérifié dans cette trompe à eau.
Données :
- L'intensité de la pesanteur est g=9{,}8\text{ m.s}^{-2}.
- La masse volumique du fluide est \rho = 1{,}0.10^3\text{ kg.m}^{-3}.
Quelle relation permet de calculer la vitesse du fluide v_B au point B en fonction de sa vitesse v_A au point A et des sections de la conduite S_A et S_B ?
Lors d'un écoulement en régime permanent, le débit volumique est conservé :
D_{V \text{ (A)}} = D_{V \text{ (B)}}
Or, la vitesse v est égale au quotient de son débit volumique D_v par la section S du conduit :
v_{\text{ (m.s}^{-1})} = \dfrac{D_{V\text{ (m}^3.\text{s}^{-1})}}{S _{\text{ (m}^{-2})}}
En combinant les deux relations, on obtient :
v_A \times S_A=v_B \times S_B
D'où la relation :
v_B=\dfrac{S_A}{S_B}\times v_A
La relation est :
v_B=\dfrac{S_A}{S_B}\times v_A
Quelle est la valeur de la vitesse v_B ?
On a la relation :
v_B=\dfrac{S_A}{S_B}\times v_A
D'où l'application numérique :
v_B=\dfrac{25}{5{,}0}\times 1{,}0
v_B=5{,}0\text{ m.s}^{-1}
La vitesse est de 5{,}0\text{ m.s}^{-1}.
Quelle relation permet de calculer la pression P_B ?
La relation de Bernoulli illustre la conservation de l'énergie mécanique d'un fluide par unité de volume, c'est-à-dire que pour deux points A et B d'un écoulement :
E_{M,v}{ \text{ (A)}} =E_{M,v}{ \text{ (B)}}
Soit :
p_A +\dfrac{1}{2}\times \rho\times v_A^2 + \rho\times g \times z_A = p_B + \dfrac{1}{2}\times \rho\times v_B^2 + \rho\times g \times z_B
On en déduit l'expression pour la pression au point B :
p_B=p_A+\dfrac{1}{2} \times \rho\times(v_A^2-v_B^2)+\rho\times g \times (z_A-z_B)
La relation est :
p_B=p_A+\dfrac{1}{2} \times \rho\times(v_A^2-v_B^2)+\rho\times g \times (z_A-z_B)
Quelle est la valeur de la pression p_B ?
On a la relation :
p_B=p_A+\dfrac{1}{2} \times \rho\times(v_A^2-v_B^2)+\rho\times g \times (z_A-z_B)
D'où l'application numérique :
p_B=3{,}0.10^5+\dfrac{1}{2} \times 1{,}0.10^3\times(1{,}0^2-5{,}0^2)+1{,}0.10^3\times 9{,}8 \times (5{,}0.10^{-2}-2{,}0.10^{-2})
p_B= 2{,}9.10^5\text{ Pa}
La pression est de 2{,}9.10^5\text{ Pa}.
L'effet Venturi s'applique-t-il à la trompe à eau ?
L'effet Venturi est le phénomène par lequel une diminution de la section d'un écoulement provoque une augmentation de la vitesse du fluide et une diminution de sa pression.
Ici, on a :
- v_B \gt v_A
- p_B \lt p_A
L'effet Venturi s'applique donc dans cette trompe à eau.
Oui, l'effet Venturi s'applique à cette trompe à eau.