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  4. Méthode : Résoudre l'équation différentielle caractéristique de la décharge d'un condensateur

Résoudre l'équation différentielle caractéristique de la décharge d'un condensateur Méthode

Sommaire

1Isoler dans le premier terme la tension du condensateur et sa dérivée 2Identifier la constante 3Conclure en réécrivant l'expression de la solution

Dans un circuit électrique RC série, la tension du condensateur en décharge est la solution d'une équation différentielle. Déterminer l'expression de la solution de cette équation différentielle permet de connaitre l'évolution de la tension du condensateur en fonction du temps.

L'équation différentielle vérifiée par la tension d'un condensateur en décharge dans un circuit RC série est la suivante :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = 0

Quelle est l'expression de la tension d'un condensateur solution de cette équation différentielle ?

Etape 1

Isoler dans le premier terme la tension du condensateur et sa dérivée

On isole dans le premier terme la tension du condensateur u_{c(t)} et sa dérivée du_{c(t)}.

On isole dans le premier terme la tension du condensateur u_{c(t)} et sa dérivée du_{c(t)} :

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{d u_{C(t)}}{{u_{C(t)}}} = - \dfrac{ dt}{R\times C}

Un raisonnement mathématique, que nous admettrons ici, peut montrer que l'expression de la solution de cette équation différentielle est :

u_{C(t)} = A\times e^{-\dfrac{t}{RC}}

Où A est une constante.

Etape 2

Identifier la constante

On identifie la constante A en utilisant la condition initiale relative à la décharge d'un condensateur : à t=0, le condensateur est chargé, la tension entre ses bornes est alors égale à la tension du générateur, notée E.

La solution de l'équation différentielle doit vérifier la condition initiale : à t=0, le condensateur est chargé, la tension entre ses bornes est alors égale à la tension du générateur, notée E.

Ce qui donne :

u_{C(0)}=A\times e^{-\dfrac{0}{RC}}=E

Or :

e^{-\dfrac{0}{RC}}=1

D'où :

u_{C(0)}=A=E

Ce qui permet d'identifier la constante A :

A=E

Etape 3

Conclure en réécrivant l'expression de la solution

On conclut en réécrivant l'expression de la solution de l'équation différentielle.

L'expression de la solution de l'équation différentielle est donc :

u_{C(t)}=A\times e^{-\dfrac{t}{RC}} avec A=E.

D'où :

u_{C(t)}=E\times e^{-\dfrac{t}{RC}}