Défibrillateur cardiaque implantable, Amérique du Sud 2022 Exercice type bac

La défibrillation est une méthode utilisée afin de régulariser le rythme cardiaque. Elle consiste à appliquer un « choc électrique » très bref au cœur du patient. Un défibrillateur interne est un petit boîtier qui est implanté dans le thorax du patient. Ce boîtier comporte trois éléments fondamentaux :

une pile au lithium permettant l'apport d'énergie nécessaire au fonctionnement du dispositif. Cette pile délivre une tension à vide U_g = 3{,}0 \text{ V} ;
des circuits électroniques permettant, entre autres choses, d'analyser le rythme cardiaque du patient, de reconnaître des troubles et de déclencher un choc en cas de nécessité ;
des condensateurs qui permettent de stocker l'énergie qui sera délivrée lors d'un choc ;
des électrodes qui relient le dispositif au cœur du patient.

Le défibrillateur peut être modélisé par le circuit ci-dessous.

Le fonctionnement du défibrillateur se décompose en deux phases :

dans la première phase, l'interrupteur K₁ est fermé pendant que K₂ est ouvert ; au début de cette phase, pris comme origine des temps, le condensateur est déchargé ;
dans la seconde phase, l'interrupteur K₂ est fermé pendant que K₁ est ouvert ; c'est dans cette phase que le choc a lieu. La résistance r modélise le comportement électrique du cœur.

Les quatre graphiques suivants représentent des évolutions possibles de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

Quel graphique correspond à la première phase de fonctionnement ?

À l'issue de la première phase, la charge du condensateur étant terminée, on passe à la deuxième phase de fonctionnement.

Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la tension u_C(t) lors de cette seconde phase ?

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{r\times C} = 0

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{r\times C}{u_{C(t)}} = 0

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{r\times C} =E

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{r\times C}{u_{C(t)}} =E

À la date t_1 l'interrupteur K₂ est fermé. Vérifier que la solution de cette équation différentielle peut s'écrire sous la forme :

u_C(t) = A \times \exp(\dfrac{-(t-t_1)}{\tau})

Dans quelle proposition exprime-t-on correctement le temps caractéristique \tau en fonction de r et C et calcule-t-on sa valeur ?

\tau = r \times C = 5{,}0.10^{-4} \text{ s}

\tau = r \times C = 5{,}0.10^{-2} \text{ s}

\tau = \dfrac{r}{C} = 5{,}0.10^{-4} \text{ s}

\tau = \dfrac{C}{r} = 5{,}0.10^{-2} \text{ s}

Quelle est la valeur du paramètre A sachant qu'à l'instant t = t_1, la tension aux bornes du condensateur u_C(t_1) vaut 800 V ?

A =800 \text{ V}

A = 1 \ 600 \text{ V}

A =400 \text{ V}

A =1 \ 200 \text{ V}

Quelle est la durée approximative du « choc électrique » et quel commentaire peut-on en faire ?

t = 5 \times \tau= 2{,}5.10^{-3} \text{ s}

Cette durée, très courte, est cohérente avec l'énoncé qui indique que le choc est très bref.

t = 5 \times \tau^2= 5{,}0.10^{-3} \text{ s}

Cette durée, très courte, est cohérente avec l'énoncé qui indique que le choc est très bref.

t = \dfrac{\tau}{5}= 2{,}5.10^{-2} \text{ s}

Cette durée, assez grande, est cohérente avec l'énoncé qui indique que le choc est très long.

t = \dfrac{5}{\tau}= 5{,}0.10^{-2} \text{ s}

Cette durée, assez grande, est cohérente avec l'énoncé qui indique que le choc est très long.

Quel graphique représente correctement l'allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors d'un cycle complet charge-décharge du condensateur ?