Dans un circuit électrique RC série, la tension du condensateur en décharge vérifie une équation différentielle. Établir cette équation différentielle est la prérequis nécessaire à l'obtention de l'expression de cette tension.
On considère le circuit électrique RC série suivant dans lequel le condensateur est en décharge. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension du condensateur.
Appliquer la loi d'additivité des tensions
On applique la loi d'additivité des tensions : dans le circuit RC série en décharge, la somme des tensions aux bornes de la résistance et du condensateur est nulle
La loi d'additivité des tensions permet d'écrire la relation suivante :
u_{\text{résistance}}+u_{\text{condensateur}}=0
Soit avec les notations adoptées :
u_{\text{R}}+u_{\text{C}}=0
Appliquer la loi d'Ohm
On applique la loi d'Ohm afin d'exprimer la tension aux bornes de la résistance en fonction de l'intensité du courant électrique.
D'après la loi d'Ohm, on a :
u_R = R \times i
Exprimer l'intensité du courant en fonction de la tension du condensateur
À l'aide de la définition de l'intensité et de l'expression de la charge électrique, on exprime l'intensité i du courant électrique dans le circuit en fonction de la tension du condensateur.
Par définition, l'intensité i du courant électrique est égale à la dérivée de la charge électrique circulant dans le circuit :
i= \dfrac{dq}{dt} \Leftrightarrow i= \dfrac{d(C\times u_C)}{dt} \Leftrightarrow i= \dfrac{dC}{dt}\times u_C + C \times\dfrac{du_C}{dt}
Or, la charge électrique dépend de la tension du condensateur :
q =C \times u_C
On a donc :
i= \dfrac{d(C\times u_C)}{dt}
i= \dfrac{dC}{dt}\times u_C + C \times\dfrac{du_C}{dt}
La capacité C du condensateur étant une constante : \dfrac{dC}{dt} =0 on obtient finalement :
i= C \times\dfrac{du_C}{dt}
Exprimer la tension aux bornes de la résistance en fonction de la dérivée de la tension du condensateur
Avec la nouvelle expression de l'intensité, on exprime la tension aux bornes de la résistance en fonction de la dérivée de la tension du condensateur.
Puisque u_R = R \times i et que i= C \times\dfrac{du_C}{dt}, on a :
u_R = R \times C \times\dfrac{du_C}{dt}
Remplacer l'expression de la tension aux bornes de la résistance
On remplace dans l'équation obtenue dans la première étape l'expression de la tension aux bornes de la résistance.
On reprend l'équation obtenue dans la première étape :
u_{\text{R}}+u_{\text{C}}=0
Avec :
u_R = R \times C \times\dfrac{du_C}{dt}
On obtient donc l'équation différentielle suivante :
R \times C \times \dfrac{du_C}{dt}+u_{\text{C}}=0
Diviser les deux termes par le produit RC
Afin d'obtenir la forme appropriée de l'équation différentielle, on divise les deux termes de l'équation précédente par le produit RC.
En divisant les deux termes de l'équation précédente par le produit RC, on obtient l'équation différentielle suivante :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} =0