Considérons le circuit RC série suivant :
Lorsque l'interrupteur est sur la position 2, le condensateur est en décharge (et en convention générateur). Lorsqu'il est en position 1, le condensateur est en charge (et en convention récepteur).
On se propose d'étudier le comportement de ce circuit en charge du condensateur.
Données :
- capacité du condensateur : C = 45\text{ μF} ;
- résistance : R = 23 \text{ k} \Omega.
On place l'interrupteur en position 1.
Quelle équation différentielle vérifie la tension aux bornes du condensateur ?
Soit un circuit RC série dans lequel le condensateur est initialement déchargé. À l'instant t =0, un interrupteur ferme le circuit permettant la charge du condensateur (en convention récepteur) :
D'après la loi d'additivité des tensions, on a :
u_{\text{résistance}}+u_{\text{condensateur}}=u_{\text{générateur}}
Soit avec les notations adoptées :
u_{\text{R}}+u_{\text{C}}=E
La tension aux bornes de la résistance s'obtient avec la loi d'Ohm :
u_R = R \times i
D'où :
R \times i +u_{\text{C}}=ER×i+uC=E
Or, l'intensité du courant électrique ii dans le circuit dépend de la tension du condensateur u_C car i= \dfrac{dq}{dt} et q =C \times u_C.
L'expression de i en fonction de u_C est donc :
i= \dfrac{dq}{dt} \Leftrightarrow i= \dfrac{d(C\times u_C)}{dt} \Leftrightarrow i= \dfrac{dC}{dt}\times u_C + C \times\dfrac{du_C}{dt}
La capacité C du condensateur étant une constante : \dfrac{dC}{dt} =0
Et finalement :
i= C \times\dfrac{du_C}{dt}
D'où :
R \times i+u_{\text{C}}=E \Leftrightarrow R \times C \times \dfrac{du_C}{dt}+u_{\text{C}}=E
Ainsi :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
Quelle est alors la tension aux bornes du condensateur ?
La tension aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle de premier ordre suivante :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
La solution de cette équation différentielle est :
u_{C}(t) = A \times e^{-\dfrac{t}{R\times C}} + B
Où A et B sont des constantes dépendant du comportement du circuit RC.
Ici, on sait que :
À t = 0, \text{ s}t=0 s, u_C= 0 \text{ V}.
D'où :
u_{C}(0) = A \times e^{-\dfrac{0}{R\times C}} + B = A + B = 0 \text{ V}
Donc :
A = - B
Pour :
t\longmapsto \infty , u_C \longmapsto E
D'où :
u_{C}(t \longmapsto \infty) = A \times e^{-\dfrac{\infty}{R\times C}} + B = A \times 0 +B = E
Donc :
B = E et A = -E
Finalement :
u_{C}(t) = -E \times e^{-\dfrac{t}{R\times C}} + E
On a donc :
u_{C}(t) = E \times \left(1-e^{-\dfrac{t}{R\times C}} \right)
On définit \tau un temps vérifiant u_C(\tau) = 0{,}99 \times E.
Quelle est l'expression de \tau ?
\tau vérifie u_C(\tau) = 0{,}99 \times E, soit :
0{,}99 \times E = E \times \left(1-e^{-\dfrac{5 \tau}{R\times C}} \right)
D'où :
e^{-\dfrac{5 \tau}{R\times C}} = \dfrac{1}{100}
En appliquant la fonction ln, on obtient :
-\dfrac{5 \tau}{R\times C} = 2\times ln(10)
Donc :
\tau = \dfrac{2\times ln(10)}{5} \times R \times C = RC
Ainsi, \tau = RC.
À partir de combien de temps peut-on considérer la charge du condensateur complète ?
À partir de t_c =5\tau, on peut considérer que le condensateur est totalement chargé (il atteint 99 % de sa charge) :
t_c =5\tau = 5 \times RC = 5 \times 23 \times 10^3 \times 45 \times 10^{-6}
Soit :
t_c =\text{5, 175 s}
Ainsi, t_c=5{,}175\text{ s}