Étudier la réponse d’un dispositif modélisé par un dipôle RC Problème

Considérons le circuit RC série suivant :

Lorsque l'interrupteur est sur la position 2, le condensateur est en décharge (et en convention générateur). Lorsqu'il est en position 1, le condensateur est en charge (et en convention récepteur).

On se propose d'étudier le comportement de ce circuit en charge du condensateur.

Données :

capacité du condensateur : C = 45\text{ μF} ;
résistance : R = 23 \text{ k} \Omega.

On place l'interrupteur en position 1.

Quelle équation différentielle vérifie la tension aux bornes du condensateur ?

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} - \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = -{E}

\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{\sqrt{R\times C}} = \dfrac{E}{\sqrt{R\times C}}

Quelle est alors la tension aux bornes du condensateur ?

u_{C}(t) = E \times \left(1-e^{-\dfrac{t}{R\times C}} \right)

u_{C}(t) = E \times \left(1+e^{-\dfrac{t}{R\times C}} \right)

u_{C}(t) = E \times \left(1-e^{-\dfrac{t}{\sqrt{R\times C}}} \right)

\tau = \sqrt{RC}

u_{C}(t) = \dfrac{E}{2} \times \left(1-e^{-\dfrac{t}{R\times C}} \right)

On définit \tau un temps vérifiant u_C(\tau) = 0{,}99 \times E.

Quelle est l'expression de \tau ?

\tau = RC

\tau = \dfrac{RC}{2}

\tau = - RC

À partir de combien de temps peut-on considérer la charge du condensateur complète ?

t_c = 1 \text{ h } 26 \text{ min}

t_c = 40 \text{ min}

t_c = 5{,}175\text{ s}

t_c =42 \text{ s}