Sommaire
1Écrire la tension du condensateur comme la somme de deux solutions 2Déterminer l'expression de la solution constante 3Déterminer l'expression de la solution sans second membre 4Additionner les deux solutions 5Identifier la constante 6Conclure en réécrivant l'expression de la solutionDans un circuit électrique RC série, la tension du condensateur en charge est la solution d'une équation différentielle. Déterminer l'expression de la solution de cette équation différentielle permet de connaitre l'évolution de la tension du condensateur en fonction du temps.
L'équation différentielle vérifiée par la tension d'un condensateur en charge dans un circuit RC série est la suivante :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
Quelle est l'expression de la tension d'un condensateur solution de cette équation différentielle ?
Écrire la tension du condensateur comme la somme de deux solutions
On écrit la tension du condensateur comme la somme de deux solutions : une solution constante et une solution sans second membre.
La tension du condensateur solution de cette équation différentielle est la somme de la solution constante et de la solution sans second membre :
u_{C(t)}=u_{C(\text{constante})} + u_{C(\text{sans second membre})}
Déterminer l'expression de la solution constante
On détermine l'expression de la solution constante.
On cherche à déterminer l'expression de la solution constante u_{C(\text{constante})} qui vérifie l'équation différentielle :
\dfrac{du_{C(\text{constante})} }{dt} + \dfrac{u_{C(\text{constante})} }{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
Par définition, la dérivée de la tension constante est nulle : \dfrac{du_{C(\text{constante})} }{dt} = 0.
On obtient donc :
\dfrac{u_{C(\text{constante})} }{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
D'où :
u_{C(\text{constante})} =E
Déterminer l'expression de la solution sans second membre
On détermine l'expression de la solution sans second membre.
On cherche à déterminer l'expression de la solution sans second membre u_{C(\text{constante})} qui vérifie l'équation différentielle avec, par définition, un second membre nul :
\dfrac{d u_{C(\text{sans second membre})}}{dt} + \dfrac{ u_{C(\text{sans second membre})} }{R\times C} = 0
Cette équation peut s'écrire sous la forme suivante :
\dfrac{d u_{C(\text{sans second membre})}}{u_{C(\text{sans second membre})}} = - \dfrac{ dt}{R\times C}
Un raisonnement mathématique, que nous admettrons ici, peut montrer que l'expression de la solution de cette équation différentielle est :
u_{C(\text{sans second membre})} = A\times e^{-\dfrac{t}{RC}}
Où A est une constante.
Additionner les deux solutions
L'expression de la solution de l'équation différentielle est obtenue en additionnant les solutions constante et sans second membre.
L'expression de la solution de l'équation différentielle est donc :
u_{C(t)}=u_{C(\text{constante})} + u_{C(\text{sans second membre})}
Soit :
u_{C(t)}=E+A\times e^{-\dfrac{t}{RC}}
Identifier la constante
On identifie la constante A en utilisant la condition initiale relative à la charge d'un condensateur : à t=0, le condensateur est déchargé, la tension entre ses bornes doit donc être nulle.
La solution de l'équation différentielle doit vérifier la condition initiale : à t=0, le condensateur est déchargé, la tension entre ses bornes doit donc être nulle.
Ce qui donne :
u_{C(0)}=E+A\times e^{-\dfrac{0}{RC}}=0
Or :
e^{-\dfrac{0}{RC}}=1
D'où :
u_{C(0)}=E+A=0
Ce qui permet d'identifier la constante A :
A=-E
Conclure en réécrivant l'expression de la solution
On conclut en réécrivant l'expression de la solution de l'équation différentielle, que l'on peut éventuellement factoriser.
L'expression de la solution de l'équation différentielle est donc :
u_{C(t)}=E+A\times e^{-\dfrac{t}{RC}} avec A=-E.
D'où :
u_{C(t)}=E-E\times e^{-\dfrac{t}{RC}}
Il est alors possible de mettre en facteur E pour réduire l'expression de la solution de l'équation différentielle :
u_{C(t)}=E\times(1- e^{-\dfrac{t}{RC}})