Sommaire
1Identifier l'exponentielle à transformer 2Effectuer une opération sur l'expression à modifier 3Utiliser les formules du coursIl est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de l'exponentielle.
Démontrer l'égalité suivante :
\forall x \in \mathbb{R}, \dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{1}{e^{-2x}+1}
Identifier l'exponentielle à transformer
On identifie l'exponentielle à transformer.
Dans le membre de gauche, il y a un terme e^{3x} qui n'apparaît pas dans le membre de droite. Il faut le modifier.
Effectuer une opération sur l'expression à modifier
Afin de transformer l'expression, on utilise :
- La factorisation
- La multiplication du numérateur et du dénominateur par une même exponentielle
Ici, on factorise le numérateur et le dénominateur par e^{3x}. On obtient :
\forall x \in\mathbb{R}, \dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}}+\dfrac{e^{x}}{e^{3x}}\right)}
Utiliser les formules du cours
On utilise des formules du cours afin de simplifier l'expression. On cite la formule utilisée à chaque fois.
On sait que, pour tous réels a et b :
\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}
Ainsi, pour tout réel x :
\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(1+e^{x-3x}\right)}
\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(1+e^{-2x}\right)}
On simplifie par e^{3x}, on en déduit que, pour tout réel x :
\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{1}{1+e^{-2x}}