Soient X_1, \cdots, X_n des variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p .
Quel est l'écart-type de la variable aléatoire X_1 ?
X_1 suit une loi de Bernoulli de paramètre p .
Ainsi, sa variance est le produit des probabilités de succès p et d'échec 1-p :
Var(X_1) = p(1-p)
Or, l'écart-type est la racine de la variance, donc \sigma(X_1)= \sqrt{p(1-p)} .
Quel est l'écart-type de la somme des variables aléatoires X_n ?
Les variables aléatoires sont identiques, donc elles ont toutes la même variance.
Comme Var(X_1)= p(1-p) , on a :
Var(X_i) = p(1-p) pour tout i \in [1,n]
Or, la variance de la somme de variables aléatoires indépendantes est la somme des variances des variables aléatoires.
Donc :
Var\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n Var\left( X_i \right)
Var\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n p(1-p)
Var\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = np(1-p)
Or, l'écart-type est la racine de la variance, donc \sigma\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)= \sqrt{np(1-p)} .
Quel est l'écart-type de la moyenne M_n des variables aléatoires X_n ?
On a :
Var(M_n) = Var\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_n \right)
Or :
Var(aX) = a^2 Var(X), a \in \mathbb{R}
Donc :
Var(M_n) = Var\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_n \right)
Var(M_n) = \dfrac{1}{n^2} Var\left( \sum_{i=1}^n X_n \right)
De plus, on sait que la variance de la somme de variables aléatoires indépendantes est la somme des variances.
Donc :
Var(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var\left(X_n \right)
Et comme Var(X_i) = p(1-p) pour tout i \in \{1,\dots,n\} :
Var(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n p(1-p)
Var(M_n) = \dfrac{1}{n^2} np(1-p)
Var(M_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}
Or, l'écart-type est la racine carrée de la variance, donc \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} .
Soient X_1, \cdots, X_n des variables aléatoires indépendantes d'écart-type \sigma .
Que vaut l'écart-type de la moyenne ?
D'après les questions précédentes, on a :
Var(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var\left(X_n \right)
Var(M_n) = \dfrac{Var}{n}
Or, l'écart-type est la racine carrée de la variance, donc \sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} .