Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(n,p) .
On cherche à démontrer que E[X] = np .
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(n,p) .
Que peut-on dire de la variable X ?
Comme X suit une loi binomiale, elle est la succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes.
Il existe donc Y_1, \cdots, Y_n des variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p .
Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire Y qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p ?
Une épreuve de Bernoulli est une situation dans laquelle il existe deux issues, souvent appelées « succès » ou « échec ». On note p la probabilité du succès.
Ainsi, l'espérance de la variable aléatoire Y est E[Y] = p .
Soit Y_1, \cdots, Y_n des variables aléatoires indépendantes.
Que peut-on dire de E\left[ \sum_{i=1}^n Y_i \right] ?
L'espérance d'une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme des espérances.
Ainsi, E\left[ \sum_{i=1}^n Y_i \right] = \sum_{i=1}^n E\left[ Y_i \right] .
Quelle est l'espérance de X ?
X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale. Donc il existe Y_1, \cdots, Y_n des variables aléatoires qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p telles que X = Y_1 + \cdots + Y_n .
L'espérance d'une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme des espérances.
Ainsi :
E\left[ X \right] = E\left[ \sum_{i=1}^n Y_i \right]
E\left[ X \right] = \sum_{i=1}^n E\left[ Y_i \right]
Comme les Y_i sont des variables aléatoires qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p , on a :
E\left[ Y_i \right] = p , pour tout i \in \mathbb{N}
Donc :
E\left[ X \right] = \sum_{i=1}^n E\left[ Y_i \right]
E\left[ X \right] = \sum_{i=1}^n p
Ainsi, E\left[ X \right] = np .