Déterminer une équation cartésienne de plan Exercice

Les points A, B et C forment un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

A, B et C forment bien un plan.

Les points A, B et C forment un plan si et seulement s'ils sont alignés, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

Les vecteurs sont donc colinéaires.

A, B et C forment bien un plan.

Les points A, B et C forment un plan si et seulement les droites (AB) et (AC) sont confondues,

A, B et C forment bien un plan.

Les points A, B et C forment un plan si et seulement les droites (AB) et (AC) sont sécantes.

A, B et C forment bien un plan.

Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} −4 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}. D'où :

• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} =0
• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} =0

\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.

Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est colinéaire à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} −4 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}. D'où :

• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} =0
• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} =0

\overrightarrow{n} est bien colinéaire aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.

Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} −4 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}. D'où :

• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} =0
• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} =0

\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.

Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} −4 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}. D'où :

• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} =1
• \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} =1

\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.

P: −4x+y+2z+17=0

P: −4x+y+2z+12=0

P: 4x+y+2z+12=0

P: −4x-y+2z-17=0