Déterminer l'intersection de deux plans Exercice

P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

P:2x-y+3z-1=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.

Q:-x+3y-2z+1=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.

Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Les plans P et Q sont donc sécants.

P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

P:2x-y+3z-1=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.

Q:-x+3y-2z+1=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.

Les plans P et Q sont donc sécants.

P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

P:2x-y+3z-1=0 donc un vecteur directeur de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.

Q:-x+3y-2z+1=0 donc un vecteur directeur de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.

Les vecteurs sont colinéaires.

Les plans P et Q sont sécants.

P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

P:2x-y+3z-1=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.

Q:-x+3y-2z+1=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.

Les plans P et Q sont sécants.

L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :

\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}

L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :

\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}+\dfrac{7t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}

L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :

\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{t}{5} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}

L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :

\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7t}{5} \cr \cr y=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{t}{5} \cr \cr z=-t\end{cases}, t\in\mathbb{R}