Etudier une suite récurrente Exercice type bac

u_{1}=2{,}3\\u_{2}=2{,}9\\u_{3}=3{,}6\\u_{4}=4{,}4

u_{1}=1{,}67\\u_{2}=1{,}78\\u_{3}=2{,}19\\u_{4}=2{,}79

u_{1}=2{,}33\\u_{2}=2{,}89\\u_{3}=3{,}59\\u_{4}=4{,}4

u_{1}=2\\u_{2}=2{,}33\\u_{3}=2{,}89\\u_{4}=3{,}59

La suite \left( u_{n} \right) semble croissante.

La suite \left( u_{n} \right) semble décroissante.

La suite \left( u_{n} \right) semble ni croissante ni décroissante.

La suite \left( u_{n} \right) semble constante.

Pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1, et donc 3u_{n+1}-2u_n=n+3.

Or la suite est croissante, donc u_n\leqslant u_{n+1}, d'où n+3\geqslant 3u_n-2u_n=u_n.

Ainsi, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n\leqslant n+3.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_0\leqslant0+3.

2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose u_k\leqslant k+3. En utilisant le fait que u_{k+1}=\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, on montre qu'alors u_{k+1}\leqslant k+4.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_0\leqslant0+3.

2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, u_k\leqslant k+3.En utilisant le fait que u_{k+1}=\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, on montre qu'alors u_{k+1}\leqslant k+4.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

u_0\leqslant0+3

De plus, grâce à la question 1, on sait qu'on a également u_1\leqslant1+3, u_2\leqslant2+3, u_3\leqslant3+3 et u_4\leqslant4+3.

Donc pour tout n \in \mathbb{N}, u_n\leqslant n+3.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_1-u_0=\dfrac{7}{3}-2=\dfrac{1}{3} et \dfrac{1}{3}\left(u_0+0+3\right)=\dfrac{1}{3}, donc la propriété est vraie au rang 0.

.2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, u_{k+1} - u_{k} = \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right).

Alors u_{k+1}= \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right)+ u_{k} =\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, donc la propriété est héréditaire.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_1-u_0=\dfrac{7}{3}-2=\dfrac{1}{3} et \dfrac{1}{3}\left(u_0+0+3\right)=\dfrac{1}{3}, donc la propriété est vraie au rang 0.

.2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose u_{k+1} - u_{k} = \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right).

Alors u_{k+1}= \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right)+ u_{k} =\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, donc la propriété est héréditaire.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Soit n\in\mathbb{N}, comme u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1 par définition de la suite, on a u_{n+1}= \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right)+ u_{n}, donc u_{n+1}-u_n= \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right), et la propriété est vraie.

Soit n\in\mathbb{N}, on suppose u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right).

Alors u_{n+1}= \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right)+ u_{n} =\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1, ce qui est vrai par définition de la suite, donc la propriété est vraie.

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\leqslant0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est décroissante.

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est constante.

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\geqslant0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante.

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\geqslant0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est positive.