Démontrer la divisibilité d'une expression par récurrence Exercice

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a : 7 \times3^{0} +4 = 7 \times1 +4 = 11

La propriété est donc initialisée.

Pour tout entier naturel n, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 11. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

On a : 7 \times3^{1} +4 = 7 \times1 +4 = 12

La propriété est donc initialisée.

Pour tout entier naturel n, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 12. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a : 7 \times3^{0} +4 = 7 \times1 +4 = 12

La propriété est donc initialisée.

Pour tout entier naturel n, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 12. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

On a : 7 \times3^{1} +4 = 7 \times1 +4 = 11

La propriété est donc initialisée.

Pour tout entier naturel n, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 11. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

4^1-1=4-1=3

La propriété est donc initialisée.

De plus, 4^{n+1}-1 est divisible par 3. La propriété est héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=2.

La propriété est donc initialisée.

4^2-1=4-1=3

De plus, 4^{n+1}-1 est divisible par 3. La propriété est héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=2.

La propriété est donc initialisée.

De plus, 4^{n+1}-1 est divisible par 4. La propriété est héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

La propriété est donc initialisée.

De plus, 4^{n+1}-1 est divisible par 4. La propriété est héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1 :

8^1-1=8-1=7

La propriété est donc initialisée.

De plus, pour tout entier naturel non nul n, 8^n-1 est divisible par 7. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=2 :

8^2-1=8-1=7

La propriété est donc initialisée.

De plus, pour tout entier naturel non nul n, 8^n-1 est divisible par 7. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=2 :

8^2-1=16-1=15

La propriété est donc initialisée.

De plus, pour tout entier naturel non nul n, 8^n-1 est divisible par 15. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1 :

8^1-1=16-1=15

La propriété est donc initialisée.

De plus, pour tout entier naturel non nul n, 8^n-1 est divisible par 15. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

3^2-1= 9-1=8\\

La propriété est donc initialisée.

On a, pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-1 est divisible par 4. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=2.

3^2-1= 9-1=8\\

La propriété est donc initialisée.

On a, pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-1 est divisible par 4. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=4.

3^4-1= 12-1=11\\

La propriété est donc initialisée.

On a, pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-1 est divisible par 11. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=3.

3^2-1= 12-1=11\\

La propriété est donc initialisée.

On a, pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-1 est divisible par 11. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

3^{2}-2^1=9-2=7

La propriété est donc initialisée.

Par ailleurs, 3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} est bien divisible par 7. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=1.

3^{2}-2^1=9-3=6

La propriété est donc initialisée.

Par ailleurs, 3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} est bien divisible par 6. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

3^{2}-2^1=9-2=7

La propriété est donc initialisée.

Par ailleurs, 3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} est bien divisible par 7. La propriété est donc héréditaire.

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

3^{2}-2^1=9-3=6

La propriété est donc initialisée.

Par ailleurs, 3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} est bien divisible par 7. La propriété est donc héréditaire.