Donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence Exercice

\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

\dfrac{n\left(n+2\right)}{2}

\dfrac{n\left(n+1\right)}{4}

\dfrac{n\left(n+1\right)}{6}

\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}

\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{4}

\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{6}

\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{2}

\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}

\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{6}

n+1

\left(n+1\right)^2

n^2

n^3

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^2=0^2=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)\left(2\times0+1\right)}{6}=0

Donc la propriété est donc bien vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. On suppose que la propriété est vraie au rang n.

En utilisant \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\sum_{k=0}^{n}k^2+\left(n+1\right)^2 et \sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}, on démontre que \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2\left(n+1\right)+1\right)}{6} en factorisant par \left(n+1\right).

Donc la propriété est héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^2=0^2=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)\left(2\times0+1\right)}{6}=0

Donc la propriété est donc bien vérifiée au rang 0.

Hérédité :

On suppose que pour tout n\in\mathbb{N}, la propriété est vraie au rang n.

En utilisant \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\sum_{k=0}^{n}k^2+\left(n+1\right)^2 et \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}, on démontre que \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2\left(n+1\right)+1\right)}{6} en factorisant par \left(n+1\right).

Donc la propriété est héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^2=0^2=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)\left(2\times0+1\right)}{6}=0

Donc la propriété est donc bien vérifiée au rang 0.

Hérédité :

On suppose que pour tout n\in\mathbb{N}, la propriété est vraie au rang n.

\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2\left(n+1\right)+1\right)}{6} et \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}, donc en faisant la différence on obtient \sum_{k=0}^{n+1}k^2-\sum_{k=0}^{n}k^2=\left(n+1\right)^2. Et on retrouve bien \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\sum_{k=0}^{n}k^2+\left(n+1\right)^2.

Donc la propriété est héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^2=0^2=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)\left(2\times0+1\right)}{6}=0

Donc la propriété est donc bien vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. On suppose que la propriété est vraie au rang n.

\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2\left(n+1\right)+1\right)}{6} et \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}, donc en faisant la différence on obtient \sum_{k=0}^{n+1}k^2-\sum_{k=0}^{n}k^2=\left(n+1\right)^2. Et on retrouve bien \sum_{k=0}^{n+1}k^2=\sum_{k=0}^{n}k^2+\left(n+1\right)^2.

Donc la propriété est héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

On montre que la propriété est vraie au rang 1:

\sum_{k=1}^{1}\left(2k-1\right)=2 -1=1 et 1^2=1

Donc la propriété est bien vérifiée au rang 1.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété est vraie au rang n.

On a :

\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)+\left(2n+1\right)

D'après l'hypothèse de récurrence, on a :

\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=n^2 +\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}^*.

Initialisation :

On montre que la propriété est vraie au rang 0:

\sum_{k=1}^{1}\left(2k-1\right)=2 -1=1 et 1^2=1

Donc la propriété est bien vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n.

On a :

\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)+\left(2n+1\right)

D'après l'hypothèse de récurrence, on a :

\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=n^2 +\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

On montre que la propriété est vraie au rang 0:

\sum_{k=1}^{1}\left(2k-1\right)=2 -1=1 et 1^2=1

Donc la propriété est bien vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n.

D'après l'hypothèse de récurrence, on a :

\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\left(n+1\right)^2

Donc \sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)=\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1+1\right)\left(n+1-1\right)=\left(2n+1\right)

On retrouve bien \sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)+\left(2n+1\right)

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

On montre que la propriété est vraie au rang 1:

\sum_{k=1}^{1}\left(2k-1\right)=2 -1=1 et 1^2=1

Donc la propriété est bien vérifiée au rang 1.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété est vraie au rang n.

D'après l'hypothèse de récurrence, on a :

\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\left(n+1\right)^2

Donc \sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)=\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1+1\right)\left(n+1-1\right)=\left(2n+1\right)

On retrouve bien \sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)+\left(2n+1\right)

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}^*.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^3=0^3=0 et \dfrac{0^2\left(0+1\right)^2}{4}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\left( 0^3+1^3+2^3+....+n^3\right)+\left(n+1\right)^3

On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k^3. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3

Et, en factorisant par \left(n+1\right)^2 :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n^2+4\left(n+1\right) \right)}{4}=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n+2\right)^2}{4}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^3=0^3=0 et \dfrac{0^2\left(0+1\right)^2}{4}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\left( 0^3+1^3+2^3+....+n^3\right)+\left(n+1\right)^3

On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k^3. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3

Et, en factorisant par \left(n+1\right)^2 :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n^2+4\left(n+1\right) \right)}{4}=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n+2\right)^2}{4}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^3=0^3=0 et \dfrac{0^2\left(0+1\right)^2}{4}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\left( 0^3+1^3+2^3+....+n^3\right)+\left(n+1\right)^3

On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k^3. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3

Et, en factorisant par \left(n+1\right)^2 :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n^2+4\left(n+1\right) \right)}{4}=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n+2\right)^2}{4}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k^3=0^3=0 et \dfrac{0^2\left(0+1\right)^2}{4}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\left( 0^3+1^3+2^3+....+n^3\right)+\left(n+1\right)^3

On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k^3. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3

Et, en factorisant par \left(n+1\right)^2 :

\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n^2+4\left(n+1\right) \right)}{4}=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n+2\right)^2}{4}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k=0=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)}{2}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour n , montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\left( 0+1+2+....+n \right)+\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}k+\left(n+1\right)

D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left( n+2 \right)}{2}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k=0=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)}{2}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour tout n\in \mathbb{N}, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\left( 0+1+2+....+n \right)+\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}k+\left(n+1\right)

D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left( n+2 \right)}{2}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k=0=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)}{2}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit k\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour k , montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(k+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\left( 0+1+2+....+n \right)+\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}k+\left(n+1\right)

D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left( n+2 \right)}{2}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation :

\sum_{k=0}^{0}k=0=0 et \dfrac{0\left(0+1\right)}{2}=0, donc la propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.

Hérédité :

Soit k\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie pour tout k\in \mathbb{N}, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(k+1\right)

On a :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\left( 0+1+2+....+n \right)+\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}k+\left(n+1\right)

D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :

\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left( n+2 \right)}{2}

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.