Etude globale d'une suite
Les suites majorées, minorées, bornées
Suite majorée
La suite \left(u_{n}\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :
u_{n} \leq M
Soit \left( u_n \right) la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n
Pour tout entier naturel non nul n, on a :
\dfrac1n\leq1
La suite \left( u_n \right) est donc majorée par 1.
Suite minorée
La suite \left(u_{n}\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :
u_{n} \geq m
Soit \left( u_n \right) la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n
Pour tout entier naturel non nul n, on a :
\dfrac1n\geq0
La suite \left( u_n \right) est donc minorée par 0.
Suite bornée
La suite \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
La suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel non nul n par u_n=\dfrac1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1.
Elle est donc bornée et on peut écrire :
\forall n \in\mathbb{N}^*,0\leq u_n\leq1
Le sens de variation
Suite croissante
La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :
u_{n+1} \geq u_{n}
Considérons la suite \left(u_n \right) définie par son premier terme u_0=12 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n
On a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2
Or, pour tout entier naturel n :
\left(u_n \right)^2\geq0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n\geq0
Donc, pour tout n :
u_{n+1}\geq u_n
Donc la suite \left(u_n \right) est croissante.
Suite décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :
u_{n+1} \leq u_{n}
Considérons la suite définie pour tout entier naturel non nul par :
u_n=\dfrac1n
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}
Or, pour tout entier naturel n non nul :
\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant0
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}-u_n\leq0
Soit, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}\leq u_n
Par conséquent la suite \left( u_n\right) est décroissante.
Suite constante
La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :
u_{n+1} = u_{n}
Suite monotone
La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).
Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques
Suite arithmétique
Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} + r
r est alors la raison de la suite arithmétique.
On considère la suite définie par : \begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n-2, \text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant -2.
Cette suite est donc arithmétique de raison -2.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r.
- Si r\gt0, la suite est strictement croissante.
- Si r\lt0, la suite est strictement décroissante.
Terme général d'une suite arithmétique
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
u_{n} = u_{0} + nr
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=3.
On a, pour tout entier naturel n :
u_n=3-2n
Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique. La somme S des termes consécutifs de cette suite est égale à :
S=\dfrac{\left(\text{Nombre de termes}\right)\times \left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right) }{2}
En particulier :
u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}
Soit \left( u_n \right) une suite arithmétique de raison r=8 et de premier terme u_0=16.
On a donc, pour tout entier naturel n :
u_n=16+8n
On souhaite calculer la somme suivante :
S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}
On a :
S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016
Le nombre de termes entre les entiers naturels a et b vaut \left(b-a+1\right).
On souhaite calculer :
S=u_3+u_4+...+u_9
Entre 3 et 9, il y a 9-3+1=7 termes.
Suites géométriques
Suite géométrique
Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} \times q
q est alors appelé raison de la suite.
On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = 3u_{n}
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est donc géométrique de raison 3.
Soit q un réel strictement positif, et la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.
- Si q\gt1, la suite \left( u_n \right) est strictement croissante.
- Si 0\lt q\lt1, la suite \left( u_n \right) est strictement décroissante.
- Si q=1, la suite \left( u_n \right) est constante.
Terme général d'une suite géométrique
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
u_{n} = u_{0} \times q^{n}
Soit \left(u_n\right) une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u_0=3.
On a alors, pour tout entier naturel n :
u_n=3\times2^n
Somme des termes d'une suite géométrique
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q \neq 1. La somme S des termes consécutifs de cette suite vaut :
S=\text{Premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}
En particulier, si la suite est définie dès le rang 0, alors, pour tout entier naturel n :
u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
Soit \left( u_n \right) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_0=4.
On souhaite calculer la somme suivante :
S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}
On a :
S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1
Limites
Limite finie ou infinie
La limite d'une suite ne peut être étudiée qu'en + \infty .
Limite finie
\left(u_{n}\right) tend vers le réel L quand n tend vers +\infty si et seulement si tout intervalle ouvert (aussi petit que l'on veut) contenant L contient tous les termes u_{n} à partir d'un certain rang.
Le réel L est appelé limite (finie) de la suite \left(u_{n}\right). On note :
\lim\limits_{n \to +\infty } u_n = L
Unicité de la limite
Si elle existe, la limite L de la suite \left(u_{n}\right) est unique.
Suite divergente vers +\infty
\left(u_{n}\right) tend vers +\infty quand n tend vers +\infty si et seulement si pour tout réel A (aussi grand que l'on veut), tous les termes u_{n} sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. On note :
\lim\limits_{n \to +\infty } u_n = +\infty
Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :
u_n=3n+4
Soit A un réel quelconque fixé. Pour tout entier naturel n :
u_n\gt A\Leftrightarrow3n+4\gt A\Leftrightarrow n\gt \dfrac{A-4}{3}.
Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \left] A;+\infty \right[.
Donc :
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
Suite divergente vers -\infty
\left(u_{n}\right) tend vers -\infty quand n tend vers +\infty si et seulement si pour tout réel A (aussi petit que l'on veut), tous les termes u_{n} sont inférieurs à A à partir d'un certain rang. On note :
\lim\limits_{n \to +\infty } u_n = -\infty
Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :
u_n=-2n+5
Soit A un réel quelconque fixé. On a, pour tout entier naturel n :
u_n\lt A\Leftrightarrow-2n+5\lt A\Leftrightarrow n \gt \dfrac{A-5}{-2}\Leftrightarrow n\gt \dfrac{5-A}{2}
Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \left] -\infty;A\right[.
Donc :
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty
Les suites convergentes
Suite convergente
La suite \left(u_{n}\right) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.
Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :
u_{n} =\dfrac{1}{n}
On a :
\lim\limits_{n \to +\infty }\dfrac{1}{n}=0
Donc \left(u_{n}\right) est convergente.
Suite convergente bornée
Suite divergente
La suite \left(u_{n}\right) est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si sa limite est + \infty ou - \infty ou si elle n'admet pas de limite.
Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel n par :
u_{n} = \left(- 1\right)^{n}
La suite \left(u_{n}\right) étant alternée (elle prend successivement les valeurs 1, -1, 1, -1, etc.), elle n'admet pas de limite. Elle est divergente.
Limite d'une suite géométrique
Soit un réel q :
- Si -1 \lt q \lt 1, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite 0.
- Si 1 \lt q, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite +\infty .
- Si q \leq -1, alors la suite \left(q^n\right) n'admet pas de limite.
- Si q=1, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite 1.
\lim\limits_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0
\lim\limits_{n \to +\infty } 5^n = +\infty
Opérations sur les limites
Dans cette sous-partie, L et L' désignent des réels.
Limite d'une somme
| Si \left(u_n\right) a pour limite | L | L | L | +\infty | -\infty | +\infty |
|---|---|---|---|---|---|---|
| et si \left(v_n\right) a pour limite | L' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| alors \left(u_n+v_n\right) a pour limite | L+L' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | ? |
Limite d'un produit
| Si \left(u_n\right) a pour limite | L | L\gt 0 | L\gt 0 | L\lt 0 | L\lt0 | +\infty | +\infty | -\infty | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| et si \left(v_n\right) a pour limite | L' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty | +\infty ou -\infty |
| alors \left(u_n\times v_n\right) a pour limite | L\times L' | +\infty | -\infty | -\infty | +\infty | +\infty | -\infty | +\infty | ? |
Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.
Limite d'un quotient
Si la limite de \left(v_n\right) n'est pas nulle
| Si \left(u_n\right) a pour limite | L | L | +\infty | +\infty | -\infty | -\infty | +\infty ou -\infty |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| et si \left(v_n\right) a pour limite | L'\neq0 | +\infty ou -\infty | L'\gt 0 | L'\lt 0 | L'\gt 0 | L'\lt 0 | +\infty ou -\infty |
| alors \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) a pour limite | \dfrac{L}{L'} | 0 | +\infty | -\infty | -\infty | +\infty | ? |
Si la limite de \left(v_n\right) est nulle
| Si \left(u_n\right) a pour limite | L\gt0 ou +\infty | L\gt0 ou +\infty | L\lt0 ou -\infty | L\lt0 ou -\infty | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| et si \left(v_n\right) a pour limite | 0 par valeurs positives | 0 par valeurs négatives | 0 par valeurs positives | 0 par valeurs négatives | 0 |
| alors \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) a pour limite | +\infty | -\infty | -\infty | +\infty | ? |
Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.
Il existe 4 formes indéterminées :
" +\infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 "
Comparaison et encadrement
Suite convergente et minorée
Soit une suite \left(u_{n}\right) convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain rang m \leq u_{n}, alors :
m \leq L
Suite convergente et majorée
Soit une suite \left(u_{n}\right) convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain rang u_{n} \leq M, alors :
L \leq M
Convergence et comparaison
Soient \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, u_{n} \leq v_{n}. Si \left(u_{n}\right) converge vers le réel L et \left(v_{n}\right) converge vers le réel L', alors :
L \leq L'
Théorème de comparaison
Soient \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, u_{n} \leq v_{n} :
- Si \lim\limits_{n \to +\infty } u_{n} = + \infty , alors \lim\limits_{n \to +\infty } v_{n} = + \infty
- Si \lim\limits_{n \to +\infty } v_{n} = - \infty , alors \lim\limits_{n \to +\infty } u_{n} = - \infty
Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :
u_n\geq 3n^2+6
On a :
\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3n^2+6\right)=+\infty
Donc par comparaison :
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
Théorème des gendarmes ou d'encadrement
Soient \left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right) et \left(w_{n}\right) trois suites et soit un entier naturel p.
Si :
- u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n} pour tout entier n plus grand que p
- \left(u_{n}\right) et \left(w_{n}\right) convergent vers le même réel L
Alors \left(v_{n}\right) converge également vers L.
Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :
-\dfrac1n \leq u_n\leq \dfrac1n
On a ;
- \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac1n\right)=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\left(-\dfrac1n\right)=0
Donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0.
Limite monotone
Convergence (ou limite) monotone
- Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
- Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.
Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :
3\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4
Cette suite est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers un réel L\leq 4.
Suites divergentes
- Toute suite croissante et non majorée diverge vers +\infty .
- Toute suite décroissante et non minorée diverge vers -\infty .
Le raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence
Pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie, pour tout entier naturel n à partir du rang k, on procède en trois étapes.
Initialisation
On vérifie que la propriété est vérifiée au premier rang k.
Hérédité
On montre que si la propriété est vérifiée à un certain rang p (p\geq k), elle est alors vérifiée au rang suivant p + 1.
Conclusion
La propriété étant initialisée et héréditaire, est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à k.
Considérons la suite \left(u_n\right) définie par son premier terme u_0=3 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=5u_n-8
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n\geq3.
Initialisation
On a u_0=3
Ainsi, u_0\geq 3, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Soit un entier naturel p. On suppose que la propriété est vraie au rang p (c'est-à-dire que u_p\geqslant 3 ). Montrons alors qu'elle est également vraie au rang p+1 (c'est-à-dire que u_{p+1}\geqslant 3 )
On a :
u_p\geq3
Soit :
5u_p\geq15
5u_p-8\geq 7
Ou encore :
u_{p+1}\geq7
On a donc bien :
u_{p+1}\geq3
La proposition est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel. Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_n\geq3