Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion Exercice

Un grossiste en fournitures de bureau affirme que 98% de ses stylos fonctionnent.

Un client achète 400 stylos et constate que 28 ne fonctionnent pas.

On peut assimiler le choix d'un échantillon de 400 stylos dans la production à un tirage avec remise.

Supposons que le grossiste ait raison.

Notons X est la variable aléatoire qui pour chaque échantillon aléatoire de 400 stylos donne le nombre de stylos qui fonctionnent.

Quelle est la loi de X ?

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0{,}98.

X suit une loi normale de paramètres n=400 et p=0{,}98.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0{,}02.

X suit une loi normale de paramètres n=400 et p=0{,}02.

On souhaite valider ou rejeter l'affirmation du grossiste.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des stylos qui fonctionnent sur un échantillon de 400 stylos ?

n=400, donc n\geq30
np = 400\times 0{,}98= 392, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times \left(1-0{,}98\right)= 8, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}966;0{,}994\right]

n=400, donc n\geq30
np = 400\times 0{,}98= 392, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times \left(1-0{,}98\right)= 8, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}96;1\right]

n=400, donc n\geq30
np = 400\times 0{,}98= 392, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times \left(1-0{,}98\right)= 8, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}866;0{,}984\right]

n=400, donc n\geq30
np = 400\times 0{,}98= 392, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times \left(1-0{,}98\right)= 8, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}654;0{,}875\right]

Peut-on affirmer que le vendeur de stylos a raison ?

Au risque de 5%, on peut affirmer que le vendeur de stylos a raison.

Au risque de 5%, on peut affirmer que le vendeur de stylos a tort.

Au risque de 5%, on ne peut pas conclure.