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  4. Méthode : Approcher une loi binomiale par une loi normale

Approcher une loi binomiale par une loi normale Méthode

Sommaire

1Vérifier que les conditions sont respectées 2Calculer E\left(X\right) et \sigma\left(X\right) 3Appliquer le théorème de Moivre-Laplace 4Calculer la probabilité

Si certaines conditions sont vérifiées, on peut approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale. Ceci peut servir pour obtenir une approximation d'une probabilité de la forme p\left(c\leqslant X \leqslant d\right). En particulier, on peut utiliser la loi normale centrée réduite.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0{,}2. Appliquer le théorème de Moivre-Laplace pour donner une approximation de p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right).

Etape 1

Vérifier que les conditions sont respectées

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • n\geqslant 30
  • np\geqslant 5
  • n\left(1-p\right)\geqslant 5

Dans ce cas, on pourra appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0{,}2. On a donc :

  • n\geqslant 30
  • np=400\times 0{,}2=80 donc np\geqslant 5
  • n\left( 1-p \right)=400\times0{,}8=320 donc n\left(1-p\right)\geqslant 5

On peut donc appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

Etape 2

Calculer E\left(X\right) et \sigma\left(X\right)

X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On a donc :

  • E\left(X\right)=np
  • \sigma\left( X \right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}

On a :

  • E\left(X\right)=np=400\times0{,}2=80
  • \sigma\left( X \right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{400\times0{,}2\times0{,}8}=\sqrt{64}=8
Etape 3

Appliquer le théorème de Moivre-Laplace

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, a\lt b, on a p\left( a \leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( x \right)} \leqslant b \right)\approx p\left( a \leqslant Z \leqslant b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)=p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)} \leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)

On a donc :

p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)\approx p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant Z\leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, a\lt b, on a p\left( a \leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( x \right)} \leqslant b \right)\approx p\left( a \leqslant Z \leqslant b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(\dfrac{90-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)} \leqslant \dfrac{350-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(\dfrac{90-80}{8}\leqslant \dfrac{X-80}{8} \leqslant \dfrac{350-80}{8}\right)

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(1{,}25\leqslant \dfrac{X-80}{8} \leqslant 33{,}75\right)

On peut donc en déduire :

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)\approx p\left(1{,}25\leqslant Z \leqslant 33{,}75\right)

Etape 4

Calculer la probabilité

À l'aide de la calculatrice, on donne la valeur de p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant Z\leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right).

On obtient donc une approximation de p\left(c\leqslant X \leqslant d\right).

La calculatrice nous donne le résultat suivant :

p\left(1{,}25\leqslant Z \leqslant 33{,}75\right)\approx 0{,}11

On peut donc conclure :

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)\approx 0{,}11

Voir aussi
  • Cours : Intervalle de fluctuation et estimation
  • Quiz : Intervalle de fluctuation et estimation
  • Méthode : Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique
  • Méthode : Estimer une proportion à l'aide d'un intervalle de confiance
  • Méthode : Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ
  • Méthode : Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion
  • Exercice : Appliquer le théorème de Moivre-Laplace
  • Exercice : Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique
  • Exercice : Estimer une proportion à l'aide d'un intervalle de confiance
  • Exercice : Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ
  • Exercice : Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion

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