Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion Exercice

Aux États-Unis en 2057, des élections sont organisées entre un candidat républicain et un candidat démocrate et le candidat démocrate annonce qu'il va gagner avec 53% des voix.
On réalise un sondage auprès de 3000 personnes. On peut assimiler le choix des personnes à un tirage avec remise. On constate que la proportion de personnes souhaitant voter pour le candidat républicain est 47,9%.

On suppose que le candidat démocrate a raison.

X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 3000 personnes associe le nombre de personnes qui votent pour le candidat républicain.

Quelle est la loi de X ?

X suit une loi binomiale de paramètres n=3\ 000 et p=0{,}47.

X suit une loi normale de paramètres n=3\ 000 et p=0{,}47.

X suit une loi binomiale de paramètres n=3\ 000 et p=0{,}53.

X suit une loi normale de paramètres n=3\ 000 et p=0{,}53.

On souhaite valider ou rejeter l'hypothèse faite sur la proportion p d'Américains qui votent pour le candidat républicain.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des Américains qui devraient voter pour le candidat républicain sur un échantillon aléatoire de 3 000 personnes ?

n=3\ 000 , donc n\geqslant30
np = 3\ 000 \times 0{,}47 = 1\ 410 , donc np\geqslant5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times 0{,}53= 1\ 590, donc n\left(1-p\right)\geqslant5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}452;0{,}488\right]

n=3\ 000 , donc n\geqslant30
np = 3\ 000 \times 0{,}47 = 1\ 410 , donc np\geqslant5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times 0{,}53= 1\ 590, donc n\left(1-p\right)\geqslant5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}452;0{,}496\right]

n=3\ 000 , donc n\geqslant30
np = 3\ 000 \times 0{,}47 = 1\ 410 , donc np\geqslant5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times 0{,}53= 1\ 590, donc n\left(1-p\right)\geqslant5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}467;0{,}488\right]

n=3\ 000 , donc n\geqslant30
np = 3\ 000 \times 0{,}47 = 1\ 410 , donc np\geqslant5
n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times 0{,}53= 1\ 590, donc n\left(1-p\right)\geqslant5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}5;0{,}6\right].

Peut-on affirmer que le candidat démocrate avait raison ?

Au risque de 5%, on accepte que le candidate démocrate a raison.

Au risque de 5%, on accepte que le candidat démocrate a tort.

Au vue des résultats, au risque de 5%, on ne peut pas conclure.