Résoudre une équation diophantienne avec le théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide Exercice

On cherche à résoudre dans \mathbb{Z}^2 l'équation E :

-13x-31y =1

Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?

Les entiers 13 et 31 sont premiers entre eux, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Bézout, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Les entiers 13 et 31 sont premiers entre eux et positifs, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Gauss, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Une équation diophantienne admet toujours au moins un couple d'entiers solution.

D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à un couple d'entiers solution de E ?

\left(-12, 5\right)

\left(-12, -5\right)

\left(12, 5\right)

\left(-5, 12\right)

Quelle proposition démontre correctement que si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que x=-12-31k et y = 5+13k ?

Si (−12,5) est solution de l'équation E, on a alors 13(-x−12)=31(y−5).

31 divise donc13(-x−12).

Or les entiers 13 et 31 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Gauss, 31 divise (-x−12).

On a donc x = −12−31k et y = 5+13k, k\in\mathbb{Z}

Si (−12,5) est solution de l'équation E, on a alors 13(-x−12)=31(y−5).

31 divise donc13(-x−12).

Or les entiers 13 et 31 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Bézout, 31 divise (-x−12).

On a donc x = −12−31k et y = 5+13k, k\in\mathbb{Z}

Si (−12,5) est solution de l'équation E, on a alors 13(-x−12)=31(y−5).

31 divise donc13(-x−12).

Donc d'après le théorème de Gauss, 31 divise (-x−12).

On a donc x = −12−31k et y = 5+13k, k\in\mathbb{Z}

Si (−12,5) est solution de l'équation E, on a alors 13(-x−12)=31(y−5).

31 divise donc13(-x−12).

Donc d'après le théorème de Bézout, 31 divise (-x−12).

On a donc x = −12−31k et y = 5+13k, k\in\mathbb{Z}

Quelle proposition démontre correctement que s'il existe un entier k tel que : x =-12-31k et y = 5+13k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E ?

Si x=−12−31k et y=5+13k, k\in\mathbb{Z}, alors -13x-31y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=−12−31k et y=5+13k, k\in\mathbb{Z}, alors -13x-31y=0.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si y=−12−31k et x=5+13k, k\in\mathbb{Z}, alors -13x-31y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=−12−31k et y=5+13k, k\in\mathbb{Z}, alors -13x-31y=-1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Quelles sont les solutions de E dans \mathbb{Z}^2 ?

\left(-12-31k ,5+13k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(-12+31k ,5+13k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(-12-31k ,5-13k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(-12-31k ,-5+13k\right), k\in\mathbb{Z}