Résoudre une équation diophantienne avec le théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide Exercice

Les entiers 9 et 19 sont premiers entre eux, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Bézout, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Les entiers 9 et 19 sont premiers entre eux et positifs, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Gauss, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Une équation diophantienne admet toujours au moins un couple d'entiers solution.

\left(1, 2\right)

\left(1, -2\right)

\left(-1, 2\right)

\left(-1, -2\right)

Si (1,2) est solution de l'équation E, on a alors 19(x−1)=9(y−2)

9 divise donc 19(x−1).

Or les entiers 9 et 19 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Gauss, 9 divise (x−1).

On a donc x = 1+9k et y = 2+19k, k\in\mathbb{Z}

Si (1,2) est solution de l'équation E, on a alors 19(x−1)=9(y−2)

9 divise donc 19(x−1).

Or les entiers 9 et 19 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Bézout, 9 divise (x−1).

On a donc x = 1+9k et y = 2+19k, k\in\mathbb{Z}

Si (1,2) est solution de l'équation E, on a alors 19(x−1)=9(y−2)

9 divise donc 19(x−1).

Donc d'après le théorème de Gauss, 9 divise (x−1).

On a donc x = 1+9k et y = 2+19k, k\in\mathbb{Z}

Si (1,2) est solution de l'équation E, on a alors 19(x−1)=9(y−2)

9 divise donc 19(x−1).

Donc d'après le théorème de Bézout, 9 divise (x−1).

On a donc x = 1+9k et y = 2+19k, k\in\mathbb{Z}

Si x=1+9k et y=2+19k, k\in\mathbb{Z}, alors 19x-9y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=1+9k et y=2+19k, k\in\mathbb{Z}, alors 19x-9y=0.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=1+9k et y=2+19k, k\in\mathbb{Z}, alors 19x-9y=9.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si y=1+9k et x=2+19k, k\in\mathbb{Z}, alors 19x-9y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

\left(1+9k ;2+19k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(1+9k ;2-19k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(1-9k ;2+19k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(1-9k ;2-19k\right), k\in\mathbb{Z}