Résoudre une équation diophantienne avec le théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide Exercice

Les entiers 7 et 26 sont premiers entre eux, on peut donc affirmer , d'après le théorème de Bézout, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution

Les entiers 7 et 26 sont premiers entre eux et positifs, on peut donc affirmer , d'après le théorème de Gauss, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution

Une équation diophantienne admet toujours au moins un couple d'entiers solution.

\left(3 ; -11\right)

\left(-3 ; -11\right)

\left(3 ; 11\right)

\left(11 ; 3\right)

Si (,) est solution de l'équation E, on a alors 29(x+7) = 17(12-y)

17 divise donc 29(x+7).

Or les entiers 17 et 29 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Gauss, 17 divise x+7.

On a donc x = 17k−7 et y = 12 − 29k, k\in\mathbb{Z}

Si (3,−11) est solution de l'équation E, on a alors 26(x−3)=7(-y−11)

7 divise donc 26(x−3).

Or les entiers 7 et 26 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Bézout, 7 divise (x−3).

On a donc x = 3+7k et y = −11−26k, k\in\mathbb{Z}

Si (3,−11) est solution de l'équation E, on a alors 26(x−3)=7(-y−11)

7 divise donc 26(x−3).

Donc d'après le théorème de Gauss, 7 divise (x−3).

On a donc x = 3+7k et y = −11−26k, k\in\mathbb{Z}

Si (3,−11) est solution de l'équation E, on a alors 26(x−3)=7(-y−11)

7 divise donc 26(x−3).

Donc d'après le théorème de Bézout, 7 divise (x−3).

On a donc x = 3+7k et y = −11−26k, k\in\mathbb{Z}

Si x=3+7k et y=−11−26k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+7y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si y=3+7k et x=−11−26k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+7y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=3+7k et y=−11−26k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+7y=0.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si y=3+7k et x=−11−26k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+7y=0.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

\left(3+7k ;-11-26k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(3+7k ;-11+26k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(3-7k ;-11-26k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(-3+7k ;-11-26k\right), k\in\mathbb{Z}