Résoudre une équation diophantienne avec le théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide Exercice

Les entiers 8 et 21 sont premiers entre eux, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Bézout, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Les entiers 8 et 21 sont premiers entre eux et positifs, on peut donc affirmer d'après le théorème de Gauss, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Une équation diophantienne admet toujours au moins un couple d'entiers solution.

\left(8; -3\right)

\left(-8; -3\right)

\left(8; 3\right)

\left(-8; 3\right)

Si (8,3) est solution de l'équation E, on a alors 8(x−8)=21(-y−11)

8 divise donc 21(-y−11).

Or les entiers 8 et 21 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Gauss, 21 divise (x−8).

On a donc x = 8+21k et y = −3−8k, k\in\mathbb{Z}

Si (8,3) est solution de l'équation E, on a alors 8(x−8)=21(-y−11)

8 divise donc 21(-y−11).

Or les entiers 8 et 21 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Bézout, 21 divise (x−8).

On a donc x = 8+21k et y = −3−8k, k\in\mathbb{Z}

Si (8,3) est solution de l'équation E, on a alors 8(x−8)=21(-y−11)

8 divise donc 21(-y−11).

Donc d'après le théorème de Gauss, 21 divise (x−8).

On a donc x = 8+21k et y = −3−8k, k\in\mathbb{Z}

Si (8,3) est solution de l'équation E, on a alors 8(x−8)=21(-y−11)

8 divise donc 21(-y−11).

Donc d'après le théorème de Bézout, 21 divise (x−8).

On a donc x = 8+21k et y = −3−8k, k\in\mathbb{Z}

Si x=8+21k et y=−3−8k, k\in\mathbb{Z}, alors 8x+21y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=8+21k et y=−3−8k, k\in\mathbb{Z}, alors 8x+21y=0.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=8+21k et y=−3−8k, k\in\mathbb{Z}, alors 8x+21y=8.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si y=8+21k et x=−3−8k, k\in\mathbb{Z}, alors 8x+21y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

\left(8+21k ,-3-8k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(8+21k ,-3+8k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(8-21k ,-3-8k\right), k\in\mathbb{Z}

\left(-8+21k ,-3-8k\right), k\in\mathbb{Z}