Justifier la continuité d'une fonction sur un intervalle Exercice

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{x-3}{x^4+1}\times\dfrac{6x^3+7}{x^2+5}.

Quelle proposition justifie correctement que f est bien continue sur \mathbb{R} ?

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions rationnelles, qui ne s'annule jamais sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions polynômes.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions rationnelles, car les fonctions f, x \longmapsto x^4+1 et x \longmapsto x^2+5 ne s'annulent jamais sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions rationnelles, car x \longmapsto x^4+1 et x \longmapsto x^2+5 ne s'annulent jamais sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(1+x\right)\left(x^2-3\right).

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \mathbb{R} ?

f est continue sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions continues sur \mathbb{R}.

La fonction x\longmapsto1+x est continue sur \mathbb{R} en tant que fonction affine donc f est continue sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produit d'une fonction affine et d'une fonction polynôme toutes deux continues sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} car elle est composée de fonctions polynômes continues sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(1-x\right)^2.

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \mathbb{R} ?

f est continue sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions continues sur \mathbb{R}.

La fonction x\longmapsto1-x est continue sur \mathbb{R} en tant que fonction affine donc f est continue sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que quotient d'une fonction affine et d'une fonction polynôme toutes deux continues sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} car c'est un produit de deux fonctions affines continues sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^7+2x^4-x.

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \mathbb{R} ?

f est continue sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que fonction affine.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions continues sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions continues sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2}{x^2+1}.

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \mathbb{R} ?

La fonction x\longmapsto x^2+1 est continue en tant que fonction polynôme donc f est continue sur \mathbb{R} .

f est continue sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions continues sur \mathbb{R} dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}.

.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions continues sur \mathbb{R}.

f est continue sur \mathbb{R} en tant que produits de fonctions continues sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sqrt{x^2+7}.

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \mathbb{R} ?

La fonction x\longmapsto x^2-7 est continue en tant que fonction polynôme donc f est continue.

f est continue sur \mathbb{R} comme composée d'une fonction continue et positive sur \mathbb{R} par une fonction continue sur \mathbb{R}^+ .

f est continue sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions continues sur \mathbb{R}.

On ne peut pas justifier que f est continue sur \mathbb{R}.