Etude de la continuité d'une fonction définie en deux fois Exercice

On considère la fonction f définie sur \left[ 2; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(2\right)=\sqrt{6} \cr \cr \forall x\gt2, f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2}\end{cases}

Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 2;+\infty \right[ ?

La fonction x\longmapsto\sqrt{x^2+2} est continue sur \left]2;+\infty\right[ car la fonction racine est continue sur \left]2;+\infty\right[

De plus, \lim\limits_{x\to2^+}\ f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to2^-}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\sqrt{x^2+2} est continue sur \left]2;+\infty\right[ car la fonction x\longmapsto x^2+2 est continue sur \left]2;+\infty\right[ à valeur dans \left]4;+\infty\right[ et la fonction racine est continue sur \left]4;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to2^+}\ f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to2^-}\ f\left(x\right).

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to2^+}\ f\left(x\right)=f\left(2\right).

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

La fonction x\longmapsto\sqrt{x^2+2} est continue sur \left]2;+\infty\right[ car la fonction x\longmapsto x^2+2 est continue sur \left]4;+\infty\right[ à valeur dans \left]2;+\infty\right[ et la fonction racine est continue sur \left]2;+\infty\right[.

De plus, \lim\limits_{x\to2^+}\ f\left(x\right)=f\left(2\right).

Donc f est continue sur \left[2;+\infty\right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=1 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}\end{cases}

Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

Car f est une fonction rationnelle.

Car f est continue en 0

Car f est continue en 0 et sur \left] 0;+\infty \right[

Car f est continue sur \left] 0;+\infty \right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=2 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=x^3+2-\sqrt{x} \end{cases}

Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

Car f est une somme de fonctions continues sur \left] 0;+\infty \right[.

Car f est continue en 0 et sur \left] 0;+\infty \right[

Car f est continue en 0

Car f est continue sur \left] 0;+\infty \right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=3 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x+1\right)\end{cases}

Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

Car f est une fonction polynôme.

Car f est définie en 0 et continue sur \left] 0;+\infty \right[.

Car f est continue en 0.

Car f est continue en 0 et sur \left] 0;+\infty \right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(0\right)=-2 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{x^3-4}{x^4+2}\end{cases}

Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?

Car f est un quotient de fonctions continues sur \left] 0;+\infty \right[ dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left] 0;+\infty \right[.

Car f est définie en 0 et continue sur \left] 0;+\infty \right[.

Car f est continue en 0.

Car f est continue en 0 et sur \left] 0;+\infty \right[.

On considère la fonction f définie sur \left[ \sqrt{2};+\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(\sqrt{2}\right)=0 \cr \cr \forall x\gt\sqrt{2}, f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\end{cases}

Pourquoi f est-elle continue sur \left[ \sqrt{2};+\infty \right[ ?

Car f est continue en \sqrt{2} et sur \left] \sqrt{2} ;+\infty \right[ en tant que fonction composée.

Car f est définie en \sqrt{2} et sur \left] \sqrt{2};+\infty \right[.

Car \lim\limits_{x \to \sqrt{2}}f\left(x\right)=f\left(2\right).

Car f est continue sur \left] \sqrt{2};+\infty \right[.