Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x}
On est en présence d'une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, on utilise la quantité conjuguée du numérateur de cette expression. On a :
\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x}=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=\dfrac{x+1-x}{x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}=\dfrac{1}{x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
Or :
- \lim\limits_{x\to +\infty } x=+\infty , donc \lim\limits_{x\to+\infty }\sqrt{x}=+\infty .
- \lim\limits_{x\to+\infty }x+1=+\infty . On pose X=x+1. On a \lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X}=+\infty , donc par composition \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+1}=+\infty .
Donc par somme \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=+\infty .
Et ainsi par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)=+\infty .
Et finalement, en passant à l'inverse, \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x}=0.
On note \ell=\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{4x²-1}-2x.
Que peut-on dire de \ell ?
On note \ell'=\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{2+4x²}-2x.
Que peut-on dire de \ell' ?
On note \ell_1=\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x-3}}.
Que peut-on dire de \ell_1 ?
On note \ell_2=\lim\limits_{x\to -\infty } x+2-\sqrt{x²+4x-3}.
Que peut-on dire de \ell_2 ?
On note \ell_3=\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-\sqrt{9x²+2}.
Que peut-on dire de \ell_3 ?