Déterminer graphiquement les limites d'une fonction Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)

f n'a pas de limite en +\infty
f n'a pas de limite en -\infty
\lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)=-\infty

f n'a pas de limite en +\infty
f n'a pas de limite en -\infty
\lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)=5
\lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)=3

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)=5
\lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)=3

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)=-\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty.

Limite de f en 4^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to4^+, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en 4^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to4^-, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)=-\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to4^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to4^-}f\left(x\right)=-\infty

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

$Représentation de $\displaystyle{x\mapsto1+x-\dfrac1{x^2}}$ :$

Représentation de x\mapsto1+x-\dfrac1{x^2} :

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)

f n'a pas de limite en +\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=0
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=0

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty.

Limite de f en 0^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to0^+, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=-\infty.

Limite de f en 0^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to0^-, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

$Représentation de $\displaystyle{x\mapsto3-\dfrac2{x+1}}$ :$

Représentation de x\mapsto3-\dfrac2{x+1} :

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-1
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=-1

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-1
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=-1

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) tend vers 3. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=3.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) tend vers 3. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=3.

Limite de f en \left(-1\right)^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to\left(-1\right)^+, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty.

Limite de f en \left(-1\right)^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to\left(-1\right)^-, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

$Représentation de $\displaystyle{x\mapsto x^2-3x+2}$$

Représentation de x\mapsto x^2-3x+2

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)

\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-0{,}25

\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=0

\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

$Représentation de $\displaystyle{x\mapsto1+\sqrt{\dfrac1{x^2}}}$ :$

Représentation de x\mapsto1+\sqrt{\dfrac1{x^2}} :

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to 0^+} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to 0^-} f\left(x\right)=1

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to 0^+} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to 0^-} f\left(x\right)=1

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
Il n'y a pas de limite en 0⁺
Il n'y a pas de limite en 0^-

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=+\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) tend vers 1. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=1.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) tend vers 1. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=1.

Limite de f en 0^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to0^+, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en 0^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to0^-, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=+\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=+\infty

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

$Représentation de $\displaystyle{x\mapsto1-\dfrac3{x+4}}$ :$

Représentation de x\mapsto1-\dfrac3{x+4} :

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=-\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=+\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)=-4
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=4

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=+\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) tend vers 1. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=1.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) tend vers 1. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=1.

Limite de f en \left(-4\right)^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to\left(-4\right)^+, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)=-\infty.

Limite de f en \left(-4\right)^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to\left(-4\right)^-, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=+\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=1
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=+\infty

On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique suivante :

$Représentation de $\displaystyle{x\mapsto\dfrac{3x^2+1}{x^2-1}}$ :$

Représentation de x\mapsto\dfrac{3x^2+1}{x^2-1} :

Dans quelle proposition les limites suivantes sont-elles correctement déterminées ?

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)
\lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=+\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=+\infty

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=0
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=0

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=-\infty

Limite de f en +\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to+\infty, f\left(x\right) tend vers 3. Donc \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=3.

Limite de f en -\infty :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to-\infty, f\left(x\right) tend vers 3. Donc \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=3.

Limite de f en \left(-1\right)^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to\left(-1\right)^+, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty.

Limite de f en \left(-1\right)^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to\left(-1\right)^-, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en 1^+ :

Graphiquement, on remarque que lorsque 1^+, f\left(x\right) n'est pas majorée. Donc \lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)=+\infty.

Limite de f en 1^- :

Graphiquement, on remarque que lorsque x\to1^-, f\left(x\right) n'est pas minorée. Donc \lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=-\infty.

On a finalement :

\lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=3
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty
\lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to1^+}f\left(x\right)=+\infty
\lim\limits_{x\to1^-}f\left(x\right)=-\infty