Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } x^3-2x^2+x+1
Pour lever l'indétermination de cette limite, on factorise par le terme de plus haut degré. Ainsi, pour tout réel x non nul :
x^3-2x^2+x+1=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)
On a alors successivement :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2}{x}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x^2}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x^3}=0
Et ainsi par somme :
\lim\limits_{x\to +\infty }1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}=1
De plus :
\lim\limits_{x\to +\infty } x^3=+\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{x\to +\infty }x^3\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=+\infty
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } x^3-2x^2+x+1=+\infty .
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } x^4-7x^2+3
Pour lever l'indétermination de cette limite, on factorise par le terme de plus haut degré. Ainsi, pour tout réel x non nul :
x^4-7x^2+3=x^4\left(1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{3}{x^4}\right)
On a alors successivement :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{7}{x^2}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{3}{x^4}=0
Et ainsi par somme :
\lim\limits_{x\to +\infty }1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{3}{x^4}=1
De plus :
\lim\limits_{x\to +\infty } x^4=+\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{x\to +\infty }x^4\left(1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{3}{x^4}\right)=+\infty
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } x^4-7x^2+3=+\infty .
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -1} x^3-5x-1
Il n'y a aucune indétermination. Cette limite se détermine donc directement. Ainsi :
- \lim\limits_{x\to -1} x^3=-1.
- \lim\limits_{x\to -1} -5x=+5.
Et ainsi par somme, \lim\limits_{x\to -1}x^3-5x-1=-1+5-1=3.
On a ainsi \lim\limits_{x\to -1}x^3-5x-1=3.
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^5+2x^4-7x^3+2x^2+31x-77
Pour lever l'indétermination de cette limite, on factorise par le terme de plus haut degré. Ainsi, pour tout réel x non nul :
3x^5+2x^4-7x^3+2x^2+31x-77=x^5\left(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{31}{x^4}-\dfrac{77}{x^5}\right)
On a alors successivement :
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{x}=0
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{7}{x^2}=0
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{x^3}=0
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{31}{x^4}=0
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{77}{x^5}=0
Et ainsi par somme :
\lim\limits_{x\to -\infty }3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{31}{x^4}-\dfrac{77}{x^5}=3
De plus :
\lim\limits_{x\to -\infty } x^5=-\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{x\to -\infty }x^5\left(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{31}{x^4}-\dfrac{77}{x^5}\right)=-\infty
On a ainsi \lim\limits_{x\to -\infty } 3x^5+2x^4-7x^3+2x^2+31x-77=-\infty .
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } x^2+x+1
Pour lever l'indétermination de cette limite, on factorise par le terme de plus haut degré. Ainsi, pour tout réel x non nul :
x^2+x+1=x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)
On a alors successivement :
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{1}{x}=0
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{1}{x^2}=0
Et ainsi par somme :
\lim\limits_{x\to -\infty }1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=1
De plus :
\lim\limits_{x\to -\infty } x^2=+\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{x\to -\infty }x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)=+\infty
On a ainsi \lim\limits_{x\to -\infty } x^2+x+1=+\infty .
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^3+2x^2-x+1
Pour lever l'indétermination de cette limite, on factorise par le terme de plus haut degré. Ainsi, pour tout réel x non nul :
-3x^3+2x^2-x+1=x^3\left(-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)
On a alors successivement :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2}{x}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x^2}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x^3}=0
Et ainsi par somme :
\lim\limits_{x\to +\infty }-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}=-3
De plus :
\lim\limits_{x\to +\infty } x^3=+\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{x\to +\infty }x^3\left(-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } -3x^3+2x^2-x+1=-\infty.
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } x^8+2x^4-5x^2+x-9
Pour lever l'indétermination de cette limite, on factorise par le terme de plus haut degré. Ainsi, pour tout réel x non nul :
x^8+2x^4-5x^2+x-9=x^8\left(1+\dfrac{2}{x^4}-\dfrac{5}{x^6}+\dfrac{1}{x^7}-\dfrac{9}{x^8}\right)
On a alors successivement :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2}{x^4}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } -\dfrac{5}{x^6}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^7}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } -\dfrac{9}{x^8}=0
Et ainsi par somme :
\lim\limits_{x\to +\infty }1+\dfrac{2}{x^4}-\dfrac{5}{x^6}+\dfrac{1}{x^7}-\dfrac{9}{x^8}=1
De plus :
\lim\limits_{x\to +\infty } x^8=+\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{x\to +\infty }x^8\left(1+\dfrac{2}{x^4}-\dfrac{5}{x^6}+\dfrac{1}{x^7}-\dfrac{9}{x^8}\right)=+\infty
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } x^8+2x^4-5x^2+x-9=+\infty.