Il est souvent demandé de déterminer la position relative d'une courbe et d'une droite (le plus souvent une tangente ou une asymptote), c'est-à-dire de déterminer laquelle est graphiquement située au-dessus de l'autre. Ce problème revient à étudier le signe d'une différence.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} par :
f\left( x \right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}
Déterminer la position relative de C_f et de la droite D d'équation y=x-1.
Énoncer la démarche
Avant de commencer les calculs, on explique la démarche :
"Pour étudier la position relative de la courbe C_{f} et de la droite D d'équation y=ax+b, on étudie le signe de f\left( x \right)-\left( ax+b \right)."
Pour étudier la position relative de C_f et de D, on étudie le signe de f\left(x\right)-\left( x-1 \right) pour tout réel x différent de -1.
Calculer et simplifier f\left(x\right)-\left(ax+b\right)
On calcule et simplifie autant que possible la différence f\left( x \right)-\left( ax+b \right), de manière à obtenir une expression dont on puisse facilement déterminer le signe.
Pour tout réel x différent de -1, on a :
f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\left( x-1 \right)
f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}
On réduit au même dénominateur et on reconnaît une identité remarquable du type \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, pour tous réels a et b.
f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{x^2+1-\left( x^2-1 \right)}{x+1}
Soit :
f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{2}{x+1}
Étudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right)
On étudie alors le signe de la différence f\left( x \right)-\left( ax+b \right) en distinguant les cas selon les valeurs de x si nécessaire. Un tableau de signes peut s'avérer utile dans les cas les plus compliqués.
On a :
- 2\gt0
- x+1\gt 0 \Leftrightarrow x\gt-1
On en déduit donc le signe de la différence :
Conclure sur la position relative
Finalement, on conclut :
- Sur les intervalles où f\left( x \right)-\left( ax+b \right)\gt0, C_f est au-dessus de D.
- Sur les intervalles où f\left( x \right)-\left( ax+b \right)\lt0, C_f est en dessous de D.
- Lorsque f\left( x \right)-\left( ax+b \right)=0, C_f et D ont un point d'intersection.
Finalement, on peut conclure :
- C_{f} est au-dessus de D sur \left] -1;+\infty \right[.
- C_f est en dessous de D sur \left] -\infty;-1 \right[.