Sommaire
1Identifier si la limite est calculée à gauche ou à droite 2Donner le signe du dénominateur 3Calculer la limite du numérateur 4ConclureSoit f une fonction définie comme un quotient dont le dénominateur s'annule en a. On cherche à déterminer la limite à droite ou à gauche de f en a.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} par :
\forall x\in \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\},\ f\left( x \right)=\dfrac{x^2+2}{\left( x-1 \right)^3}
Déterminer \lim\limits_{x \to 1^-}f\left( x \right).
Identifier si la limite est calculée à gauche ou à droite
On identifie si l'on recherche :
- La limite à droite en a (x tend alors vers a par valeurs supérieures). On note \lim\limits_{x \to a^{+}}f\left(x\right).
- La limite à gauche en a (x tend alors vers a par valeurs inférieures). On note \lim\limits_{x \to a^{-}}f\left(x\right).
Cela va avoir un impact sur le signe du dénominateur.
On cherche ici à déterminer la limite à gauche en 1 (lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures) de f.
Donner le signe du dénominateur
Lorsque l'on fait tendre x vers a, le dénominateur tend vers 0. On détermine alors si le dénominateur approche 0 par valeurs négatives ou par valeurs positives quand x tend vers a.
Afin d'effectuer une vérification, on peut s'aider d'un exemple pour déterminer le signe du dénominateur. On choisit une valeur proche de a, supérieure ou inférieure selon le cas considéré. On calcule le dénominateur pour cette valeur, et on détermine son signe.
Ici, on cherche :
\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)
On choisit une valeur proche de 1 mais qui lui est inférieure : par exemple 0,9. On calcule alors :
0{,}9-1=-0{,}1\lt0
On a bien :
\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)=0^-
On sait que :
\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)=0^-
Comme \left(x-1\right) et \left( x-1 \right)^3 ont même signe, alors on a également :
\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)^3=0^-
Calculer la limite du numérateur
On détermine la limite du numérateur grâce aux méthodes usuelles.
On a :
\lim\limits_{x \to 1^-}x^2=1
Donc, par somme :
\lim\limits_{x \to 1^-}\left(x^2+2\right)=3
Conclure
On conclut sur la limite de la fonction.
Si le dénominateur tend vers 0 en restant positif
- Si le numérateur tend vers +\infty ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers +\infty.
- Si le numérateur tend vers -\infty ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers -\infty.
- Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.
Si le dénominateur tend vers 0 en restant négatif
- Si le numérateur tend vers +\infty ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers -\infty.
- Si le numérateur tend vers -\infty ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers +\infty.
- Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.
Ici :
- Le numérateur tend vers un réel strictement positif.
- Le dénominateur vers 0 en restant négatif.
On peut en déduire que le quotient tend vers -\infty. On a donc :
\lim\limits_{x \to 1^{-}}f\left( x \right)=-\infty