Calculer l'intégrale de fonctions paires et impaires Exercice

f est paire si et seulement si :

• Son domaine de définition est centré en 0
• \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right)

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^3\sin\left(-x\right)+\left(-x\right)^4\cos\left(-x\right)

f\left(-x\right)=4\left(-x^3\right)\left(-\sin\left(x\right)\right)+x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

f est une fonction paire.

f est paire si et seulement si :

• Son domaine de définition est centré en 0
• \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^3\sin\left(-x\right)+\left(-x\right)^4\cos\left(-x\right)

f\left(-x\right)=4\left(-x^3\right)\left(-\sin\left(x\right)\right)+x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=-\left(4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\right)

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction paire.

f est paire si et seulement si :

• Son domaine de définition est centré en 0
• \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right)

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^3\sin\left(-x\right)+\left(-x\right)^4\cos\left(-x\right)

f\left(-x\right)=4x^3\left(-\sin\left(x\right)\right)+x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=-4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

f est une fonction paire.

f est paire si et seulement si :

• Son domaine de définition est centré en 0
• \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right)

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^3\sin\left(-x\right)+\left(-x\right)^4\cos\left(-x\right)

f\left(-x\right)=4\left(-x^3\right)\left(-\sin\left(x\right)\right)+x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=4x^3\sin\left(x\right)-x^4\cos\left(x\right)

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

f est une fonction paire.

\int_{-1}^{1} 4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\ \mathrm dx=2\sin\left(1\right)

\int_{-1}^{1} 4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\ \mathrm dx=\dfrac{1}{2}

\int_{-1}^{1} 4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\ \mathrm dx=1

\int_{-1}^{1} 4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\ \mathrm dx=2\cos\left(1\right)