On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1}
Quelle proposition montre que f est une fonction impaire ?
f est impaire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.
De plus, on a :
\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(-x\right)\left(e^{-x}-e^{-\left(-x\right)}\right)}{\left(-x\right)^2+1}
Et comme \cos \left(-x\right)=\cos\left(x\right), et que \left(-x\right)^2=x^2, on a :
f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^{-x}-e^{x}\right)}{x^2+1}
Or, e^{-x}-e^x=-\left(e^x-e^{-x}\right), d'où :
f\left(-x\right)=-\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1}
f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
f est une fonction impaire.
Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
D'après la relation de Chasles :
A=\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or on sait que f est une fonction impaire. On a donc :
\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx=-\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
A=0
\int_{-1}^{1} \dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1} \ \mathrm dx=0