Calculer l'intégrale de fonctions paires et impaires - TS - Exercice Mathématiques

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1}

Quelle proposition montre que f est une fonction impaire ?

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(-x\right)\left(e^{-x}-e^{-\left(-x\right)}\right)}{\left(-x\right)^2+1}

f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^{-x}-e^{x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=-\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(-x\right)\left(e^{-x}-e^{-\left(-x\right)}\right)}{\left(-x\right)^2+1}

f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^{-x}-e^{x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x+e^{-x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(-x\right)\left(e^{-x}-e^{-\left(-x\right)}\right)}{\left(-x\right)^2+1}

f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^{-x}+e^{x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=-\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x+e^{-x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(-x\right)\left(e^{-x}-e^{\left(-x\right)}\right)}{\left(-x\right)^2+1}

f\left(-x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^{-x}-e^{x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=-\dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?

\int_{-1}^{1} \dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1} \ \mathrm dx=0

\int_{-1}^{1} \dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1} \ \mathrm dx=1

\int_{-1}^{1} \dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1} \ \mathrm dx=\dfrac{1}{2}

\int_{-1}^{1} \dfrac{\cos\left(x\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+1} \ \mathrm dx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}