Utiliser l'inégalité de la moyenne pour encadrer une intégrale Exercice

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant2

1\leq x+1\leq 3 et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{1}\geq \dfrac{1}{x+1}\geq\dfrac{1}{3}, c'est-à-dire :

\dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;2\right], on a \dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2-0\right)\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(2-0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 2

On a bien \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2}\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\leq 2

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant2

1\leq x+1\leq 3 et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{1}\geq \dfrac{1}{x+1}\geq\dfrac{1}{3}, c'est-à-dire :

\dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(+-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;2\right], on a \dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2+0\right)\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(2+0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 2

On a bien \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2}\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\leq 2

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant2

1\leq x+1\leq 3 et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{1}\geq \dfrac{1}{x+1}\geq\dfrac{1}{3}, c'est-à-dire :

\dfrac{1}{1}\leq f\left(x\right)\leq \dfrac{1}{3}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;2\right], on a \dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2-0\right)\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(2-0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 2

On a bien \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2}\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\leq 2

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant2

1\leq x+1\leq 3 et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{1}\geq \dfrac{1}{x+1}\geq\dfrac{1}{3}, c'est-à-dire :

\dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\\

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;2\right], on a \dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2-0\right)\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(2-0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 2

On a bien \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2}\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\leq 2

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], f\left(x\right)=\cos\left(x\right).

f est définie, continue et décroissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}

Et donc, par passage au cosinus :

\cos\left(o\right) \geq \cos\left(x\right) \geq \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), c'est-à-dire :

\dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a \dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)

\dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On a bien \dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], f\left(x\right)=\cos\left(x\right).

f est définie, continue et décroissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}

Et donc, par passage au cosinus :

\cos\left(o\right) \geq \cos\left(x\right) \geq \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), c'est-à-dire :

\dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a \dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)

\dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On a bien \dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], f\left(x\right)=\cos\left(x\right).

f est définie, continue et croissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}

Et donc, par passage au cosinus :

\cos\left(o\right) \leqslant \cos\left(x\right) \leqslant \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), c'est-à-dire :

\dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a \dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)

\dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On a bien \dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], f\left(x\right)=\cos\left(x\right).

f est définie, continue et décroissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}

Et donc, par passage au cosinus :

\cos\left(o\right) \geq \cos\left(x\right) \geq \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), c'est-à-dire :

\dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a \dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{3}+0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left( \dfrac{\pi}{3}+0\right)

\dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On a bien \dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], f\left(x\right)=\dfrac{2}{e^x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant ln2

1\leq e^x \leq 2

2\leq e^x +1 \leq 3

Et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{1}{e^x+1}\geq\dfrac{1}{3},

\dfrac{2}{2}\geq \dfrac{2}{e^x+1}\geq\dfrac{2}{3}

c'est-à-dire :

\dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;ln2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;ln2\right], on a \dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{2}{3}\left(ln2-0\right)\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(ln2-0\right)

\dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On a bien \dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], f\left(x\right)=\dfrac{2}{e^x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant ln2

1\leq e^x \leq 2

2\leq e^x +1 \leq 3

Et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{1}{e^x+1}\geq\dfrac{1}{3},

\dfrac{2}{2}\geq \dfrac{2}{e^x+1}\geq\dfrac{2}{3}

c'est-à-dire :

\dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;ln2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;ln2\right], on a \dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{2}{3}\left(ln2+0\right)\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(ln2+0\right)

\dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On a bien \dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], f\left(x\right)=\dfrac{2}{e^x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant ln2

1\leq e^x \leq e²

2\leq e^x +1 \leq 3

Et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{1}{e^x+1}\geq\dfrac{1}{3},

\dfrac{2}{2}\geq \dfrac{2}{e^x+1}\geq\dfrac{2}{3}

c'est-à-dire :

\dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;ln2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;ln2\right], on a \dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{2}{3}\left(ln2-0\right)\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(ln2-0\right)

\dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On a bien \dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], f\left(x\right)=\dfrac{2}{e^x+1}.

f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant ln2

1\leq e^x \leq 2

2\leq e^x +1 \leq 3

Et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :

\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{e^x+1}\leqslant\dfrac{1}{3},

\dfrac{2}{2}\leqslant \dfrac{2}{e^x+1}\leqslant\dfrac{2}{3}

c'est-à-dire :

\dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0;ln2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;ln2\right], on a \dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{2}{3}\left(ln2-0\right)\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(ln2-0\right)

\dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On a bien \dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], f\left(x\right)=2x^2+\ln\left(x\right).

f est définie et continue sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], on a :

1\leqslant x\leqslant e

donc 2\leq 2x^2 \leq 2e^2

et 0\leq \ln\left(x\right) \leq 1

Ainsi,

2\leq 2x^2+\ln\left(x\right) \leq 2e^2+1

2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[1,e\right] et pour tout réel x appartenant à \left[1,e\right], on a 2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On a bien 2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], f\left(x\right)=2x^2+\ln\left(x\right).

f est définie et continue sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], on a :

1\leqslant x\leqslant e

donc 2\leq 2x^2 \leq 2e^2

et 0\leq \ln\left(x\right) \leq 1

Ainsi,

2\leq 2x^2+\ln\left(x\right) \leq 2e^2+1

2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[1,e\right] et pour tout réel x appartenant à \left[1,e\right], on a 2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

2\left(e+1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e+1\right)

On a bien 2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], f\left(x\right)=2x^2+\ln\left(x\right).

f est définie et continue sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], on a :

1\leqslant x\leqslant e

donc 2\leq 2x^2 \leq 2e^2

et 0\leq \ln\left(x\right)

Ainsi,

2\leq 2x^2+\ln\left(x\right) \leq 2e^2+1

2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[1,e\right] et pour tout réel x appartenant à \left[1,e\right], on a 2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On a bien 2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], f\left(x\right)=2x^2+\ln\left(x\right).

f est définie et continue sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], on a :

1\leqslant x\leqslant e

donc 2\leq 2x^2 \leq 2e^2

et ln\left(x\right) \leq 1

Ainsi,

2\leq 2x^2+\ln\left(x\right) \leq 2e^2+1

2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[1,e\right] et pour tout réel x appartenant à \left[1,e\right], on a 2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On a bien 2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right).

f est définie, continue et croissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{6}

donc 0 \leq \sin\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}

Ainsi,

0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a 0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

0\left( \dfrac{\pi}{6}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6}-0\right)

0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On a 0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right).

f est définie, continue et croissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{6}

donc 0 \leq \sin\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}

Ainsi,

0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a 0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

0\left( \dfrac{\pi}{6}+0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6}+0\right)

0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On a 0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right).

f est définie, continue et croissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{6}

donc 0 \leq \sin\left(x\right) \leq 1

Ainsi,

0 \leq f\left(x\right) \leq 1

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a 0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

0\left( \dfrac{\pi}{6}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6}-0\right)

0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On a 0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right).

f est définie, continue et croissante sur cet intervalle.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a :

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{6}

donc 0 \geqslant \sin\left(x\right) \geqslant \dfrac{1}{2}

Ainsi,

f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a 0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

0\left( \dfrac{\pi}{6}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6}-0\right)

0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On a 0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2+3}.

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 1

0\leqslant x^2 \leqslant 1

3\leqslant x^2+3 \leqslant 4

et donc, en passant aux inverses sur des nombres de même signe :

\dfrac{1}{3} \geqslant \dfrac{1}{x^2+3} \geqslant \dfrac{1}{4}

Ainsi,

\dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 1\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 1\right], on a \dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{4}\left(1-0\right)\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}\left(1-0\right)

\dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On a \dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+3} \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2+3}.

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 1

0\leqslant x^2 \leqslant 1

3\leqslant x^2+3 \leqslant 4

et donc, en passant aux inverses sur des nombres de même signe :

\dfrac{1}{3} \geqslant \dfrac{1}{x^2+3} \geqslant \dfrac{1}{4}

Ainsi,

\dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 1\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 1\right], on a \dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{4}\left(1+0\right)\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}\left(1+0\right)

\dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On a \dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+3} \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2+3}.

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 1

0\leqslant x^2 \leqslant 1

3\leqslant x^2+3 \leqslant 4

et donc, en passant aux inverses sur des nombres de même signe :

\dfrac{1}{4} \geqslant \dfrac{1}{x^2+3} \geqslant \dfrac{1}{3}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 1\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 1\right], on a \dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{4}\left(1-0\right)\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}\left(1-0\right)

\dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On a \dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+3} \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2+3}.

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], on a :

x\leqslant 1

x^2 \leqslant 1

x^2+3 \leqslant 4

et donc, en passant aux inverses sur des nombres de même signe :

\dfrac{1}{3} \geqslant \dfrac{1}{x^2+3} \geqslant \dfrac{1}{4}

Ainsi,

\dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 1\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 1\right], on a \dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{4}\left(1-0\right)\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}\left(1-0\right)

\dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On a \dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+3} \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{e^{-x}+2 } .

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominteur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 2

En passant à l'exponentielle inverse,

e^{-0} \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}

1 \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}

3\geqslant e^{-x } +2 \geqslant e^{-2} +2

En passant aux inverses sur des nombres de même signe,

\dfrac{1}{3}\leqslant \dfrac{1}{e^{-x } +2} \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

Ainsi,

\dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 2\right], on a \dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2−0\right) \leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{e^{−2} +2} \left(2−0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{−2} +2}

On a \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} \dfrac{1}{e^{-x}+2} \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{-2} +2}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{e^{-x}+2 } .

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 2

En passant à l'exponentielle inverse,

e^{-0} \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}

1 \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}

3\geqslant e^{-x } +2 \geqslant e^{-2} +2

En passant aux inverses sur des nombres de même signe,

\dfrac{1}{3}\leqslant \dfrac{1}{e^{-x } +2} \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

Ainsi,

\dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 2\right], on a \dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2+0\right) \leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{e^{−2} +2} \left(2+0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{−2} +2}

On a \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} \dfrac{1}{e^{-x}+2} \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{-2} +2}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{e^{-x}+2 } .

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 2

En passant à l'exponentielle inverse,

e^{-0} \leqslant e^{-x } \leqslant e^{-2}

1\leqslant e^{-x } \leqslant e^{-2}

3\leqslant e^{-x } +2 \leqslant e^{-2} +2

En passant aux inverses sur des nombres de même signe,

\dfrac{1}{3}\leqslant \dfrac{1}{e^{-x } +2} \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

Ainsi,

\dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 2\right], on a \dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2−0\right) \leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{e^{−2} +2} \left(2−0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{−2} +2}

On a \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} \dfrac{1}{e^{-x}+2} \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{-2} +2}

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{e^{-x}+2 } .

f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominteur ne s'y annule pas.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], on a :

0\leqslant x\leqslant 2

En passant à l'exponentielle

e^{-0} \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}

1 \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}

3\geqslant e^{-x } +2 \geqslant e^{-2} +2

En passant aux inverses sur des nombres de même signe,

\dfrac{1}{3}\leqslant \dfrac{1}{e^{-x } +2} \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

Ainsi,

\dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[0; 2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 2\right], on a \dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\dfrac{1}{3}\left(2−0\right) \leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{e^{−2} +2} \left(2−0\right)

\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{−2} +2}

On a \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} \dfrac{1}{e^{-x}+2} \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{-2} +2}