Polynésie, 2012, exercice 3
On considère l'algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
Quel est l'affichage en sortie lorsque N=3 ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3.
Quelles sont les valeurs de u_1 et u_2 ?
On admet que, pour tout entier naturel n, u_n\geqslant n.
Quelle est alors la limite de la suite \left(u_n\right) ?
Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
Soit la suite \left(v_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = u_n - n +1.
Quelle est la nature de la suite (v_n) ?
On admet que, pour tout entier naturel n, u_n = 3^n + n -1.
Soit p un entier naturel non nul.
Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier n_0 tel que, pour tout n\geqslant n_0, u_n\geqslant 10^p ?
On s'intéresse maintenant au plus petit entier n_0.
On admet que n_0\leqslant 3p.
Quel est cet entier n_0 pour la valeur p = 3 ?
On pourra s'aider de la calculatrice.
Quel est l'algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n_0 tel que, pour tout n\geqslant n_0, on ait u_n\geqslant 10^p ?