Polynésie, 2014
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par :
u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.
Quelles sont les valeurs de u_{1} et u_{2} ?
On considère les deux algorithmes suivants :
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de u_{n}, la valeur de l'entier naturel n étant entrée par l'utilisateur ?
À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_{n} en ordonnée.
Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n,\: u_{n} = an^2 + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, quelles sont les valeurs de a, b et c ?
On définit, pour tout entier naturel n, la suite \left(v_{n}\right) par : v_{n} = u_{n+1} - u_{n}.
Quelle expression de v_{n} en fonction de l'entier naturel n peut-on donner ?
Quelle est la nature de la suite (v_n) ?
On définit, pour tout entier naturel \(n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n.
On admet que, pour tout entier naturel n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2), et que S_{n} = u_{n+1} - u_{0}.
Quelle expression de u_{n} en fonction de n peut-on en déduire ?