Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210 °C.
On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction f donnant la température du matériau injecté en fonction du temps t.
Le temps est exprimé en secondes et la température est exprimée en degrés Celsius.
On admet que la fonction f cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où m est une constante réelle que l'on cherche à déterminer :
(E) : y′ + 0{,} 02y = m
Partie A
Voici quatre affichages d'un logiciel de calcul formel.
Lequel est correct ?
La température de l'atelier est de 30 °C.
On admet que la température f (t ) tend vers 30 °C lorsque t tend vers l'infini.
Quelle est la valeur de m ?
Quelle est l'expression de la fonction f cherchée en tenant compte de la condition initiale f (0) = 210 ?
Partie B
On admet ici que la température (exprimée en degrés Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en secondes) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :
f(t)=180e^{-0{,}02t}+30
L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50 °C.
Par lecture graphique, quelle proposition correspond à une valeur approchée du nombre T de secondes à attendre avant de démouler l'objet ?
Quelle est la valeur exacte de ce temps T ?
La valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes se calcule à l'aide d'une intégrale.
Quelle est cette valeur, approximativement ?