L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite (u_n ) définie par u_0 = 3 et pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}.
Partie A
Parmi les propositions suivantes, quelle est la fonction Python \text{suite}(n) qui prend comme paramètre le rang n et renvoie la valeur du terme u_n ?
Que renvoie l'exécution de \text{suite}(2) ?
À l'aide des affichages ci-dessous, quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (u_n) ?
À l'aide des affichages ci-dessous, quelle conjecture peut-on émettre sur la convergence de la suite (u_n) ?
Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ] - ∞ ; 5[ par :
f(x)=\dfrac{4}{5-x}
Ainsi, la suite (u_n ) est définie par u_0 = 3 et pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f (u_n ).
La fonction f est-elle croissante sur ]-\infty ; 5[ ?
Quelle inégalité est vraie pour tout entier naturel n ?
Soit x un réel de l'intervalle ] - ∞ ; 5[.
Parmi les équivalences suivantes, laquelle est exacte ?
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=x dans ] - ∞ ; 5[ ?
Que peut-on dire de la suite (u_n) ?
Quel serait le comportement de la suite (u_n) si on choisissait comme terme initial u_0 = 4 au lieu de u_0 = 3 ?