La résolution algébrique d'équations
Les équations du premier degré
Equation du premier degré
On résout une équation du premier degré en isolant l'inconnue dans un membre. La solution apparaît ainsi dans l'autre membre.
On résout dans \mathbb{R} l'équation 3x + 4 - x + 10 = 5 \left(x - 2\right).
Pour tout réel x :
3x + 4 - x + 10 = 5x - 10
\Leftrightarrow4+ 10 + 10 = 5x - 3x + x
\Leftrightarrow24 = 3x
\Leftrightarrow x = \dfrac{24}{3} = 8
La solution de l'équation est 8.
Les équations du second degré
On résout une équation du second degré en regroupant tous les termes dans un même membre, puis en factorisant de manière à obtenir un produit de facteurs du premier degré égal à zéro.
Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
On résout dans \mathbb{R} l'équation x^2 - 2x = x.
Pour tout réel x :
x^2 - 2x - x = 0
\Leftrightarrow x^2 - 3x = 0
\Leftrightarrow x \left(x - 3\right) = 0
Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul. On en déduit que :
x=0 ou x-3=0
C'est-à-dire :
x=0 ou x=3
Cette équation admet donc deux solutions : 0 et 3.
Quotient nul
On résout une équation présentant des quotients en regroupant tous les termes dans un même membre, puis en réduisant tous les quotients au même dénominateur de manière à obtenir un unique quotient égal à zéro.
Quotient nul
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur ne l'est pas.
Veiller aux valeurs interdites (réels annulant le dénominateur), qui ne peuvent être solutions.
On résout dans \mathbb{R} l'équation suivante :
\dfrac{2x-1}{x} = \dfrac{x+1}{2x}
Dans cette équation, il y a une valeur interdite qui est 0. En effet si x=0 alors le dénominateur de chaque fraction s'annule.
On obtient, pour tout réel x non nul :
\dfrac{2x-1}{x} - \dfrac{x+1}{2x} = 0
\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x-1\right)}{2x} - \dfrac{x+1}{2x} = 0
\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x-1\right) - \left(x+1\right)}{2x} = 0
\Leftrightarrow\dfrac{4x-2 - x-1}{2x} = 0
\Leftrightarrow\dfrac{3x-3}{2x} = 0
Un quotient de dénominateur non nul est nul si et seulement si son numérateur est nul. L'équation devient donc :
3x-3 = 0
\Leftrightarrow3x= 3
\Leftrightarrow x= \dfrac33 = 1
On remarque que 1\neq0, donc l'équation a pour solution 1.
Les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
Équation linéaire à deux inconnues
Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax+by=c, où a, b et c sont des réels tels que a et b ne soient pas nuls en même temps.
Système de deux équations linéaires à deux inconnues
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un ensemble formé de deux équations linéaires impliquant les mêmes inconnues, désignées en général par x et y. On le note de la manière suivante :
\begin{cases}ax + by = c \cr \cr a'x + b'y = c'\end{cases}
Où a et b ne sont pas nuls en même temps, tout comme a' et b'.
Les solutions d'un tel système sont tous les couples de nombres \left(x ; y\right) vérifiant chacune des deux équations.
Le système à deux équations et deux inconnues suivant : \begin{cases} 5x+3y=-2 \cr \cr 2x+y=1 \end{cases} a pour unique solution le couple (5 ; -9).
On peut tester les valeurs de ce couple dans le système. Pour x=5 et y=-9, on a :
- 5x+3y=5\times5+3\times\left(-9\right)=25-27=-2
- 2x+y=2\times5+\left(-9\right)=10-9=1
Le couple (5 ; -9) est bien solution du système car il vérifie chacune des deux équations de ce dernier.
Interprétation géométrique :
On se place dans le plan muni d'un repère \left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right). On considère le système :
\begin{cases} ax+by=c \cr \cr a'x+b'y=c' \end{cases}
Où a et b ne sont pas nuls en même temps, tout comme a' et b'. On note :
- d_1 la droite d'équation ax+by=c
- d_2 la droite d'équation a'x+b'y=c'
Si b=b'=0
Dans ce cas, les droites d_1 et d_2 sont parallèles à l'axe des ordonnées.
- Elles peuvent être confondues, auquel cas le système admet une infinité de solutions.
- Elles peuvent être strictement parallèles, auquel cas le système n'admet aucune solution.
Si b=0 et b'\neq0
Dans ce cas, d_1 est parallèle à l'axe des ordonnées et d_2 ne l'est pas. Ainsi, d_1 et d_2 sont sécantes, et le système admet une unique solution.
Si b\neq0 et b'\neq0
Dans ce cas, d_1 et d_2 sont des droites non parallèles à l'axe des ordonnées. Trois cas se présentent :
- Elles peuvent être confondues, auquel cas le système admet une infinité de solutions.
- Elles peuvent être sécantes, auquel cas le système admet une unique solution.
- Elles peuvent être strictement parallèles, auquel cas le système n'admet aucune solution.
Déterminant d'un système
Soit \left(S\right) le système suivant :
\begin{cases} ax+by=c \cr \cr a'x+b'y=c' \end{cases}
Le nombre ab'-a'b est appelé déterminant du système \left(S\right).
Avec les notations précédentes :
- Si ab'-a'b\neq0, le système \left(S\right) admet une unique solution.
- Si ab'-a'b=0, le système \left(S\right) n'admet aucune solution ou admet une infinité de solutions.
On considère de nouveau le système linéaire suivant :
\left(S\right):\begin{cases} 2x=4\cr \cr 8x+4y=12 \end{cases}
Le déterminant du système est :
2\times4-8\times0=8\neq0
On retrouve bien que le système admet une unique solution.
Résolution par la méthode de substitution
Pour résoudre un système par la méthode de substitution, on exprime une des inconnues en fonction de l'autre dans la première équation, et on remplace cette inconnue par sa nouvelle expression dans la seconde équation. Cette seconde équation ne présente ainsi plus que la seconde inconnue, qu'il est alors possible de déterminer. Il ne reste qu'à remplacer la seconde inconnue par sa valeur dans la première équation pour en déduire la première inconnue.
On veut résoudre le système suivant par la méthode de substitution :
\left(S\right):\begin{cases} x-y=4 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2x+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
Détermination du nombre de solutions du système
Le déterminant du système est :
1\times 5-2\times\left(-1\right)=5+2=7\neq 0
Le système admet donc une unique solution.
Résolution
De l'équation (1), on déduit que :
x=4+y
On remplace x par 4+y dans l'équation (2), on obtient :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr 2\left(4+y\right)+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2')}} \end{cases}
On résout l'équation (2') pour obtenir la valeur de y :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr 8+2y+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr 7y=-6-8\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr y=\dfrac{-14}{7}\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr y=-2\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
On remplace y par sa valeur dans l'équation (1') et on obtient :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=4+\left(-2\right)=2 \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr y=-2\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
Conclusion
Le système admet pour unique solution le couple \left(2 ; -2\right).
Résolution par la méthode des combinaisons
Pour résoudre un système par la méthode des combinaisons, on multiplie les deux membres d'une équation par un nombre choisi judicieusement de sorte qu'en additionnant membre à membre les deux équations, une des inconnues disparaisse. On obtient ainsi une équation à une inconnue, qu'il est alors possible de déterminer. Il ne reste enfin plus qu'à remplacer cette inconnue par sa valeur dans une des deux équations, pour en déduire l'autre inconnue.
On veut résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons :
\left(S\right):\begin{cases} 6x-5y=3 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2x-3y=5\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
Détermination du nombre de solutions du système
Le déterminant du système est :
6\times\left(-3\right)-2\times\left(-5\right)=-18+10=-8\neq0
Le système admet donc une unique solution.
Résolution
On multiplie les deux membres de l'équation (2) par (-3) et on obtient le système :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} 6x-5y=3 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr -6x+9y=-15\textcolor{Red}{\text{ (2')}} \end{cases}
On additionne membre à membre les équations (1) et (2') et on obtient, après avoir conservé une des deux équations de départ :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-3y=5 \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr 4y=-12\textcolor{Red}{\text{ (1)+(2')}} \end{cases}
On résout l'équation (2'') pour obtenir la valeur de y :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-3y=5 \textcolor{Red}{\text{ (1')}}\cr \cr y=-3\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
On remplace ensuite la valeur de y dans l'équation (\textcolor{Red}{1'}) et on résout l'équation obtenue pour obtenir x :
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-3\times\left(-3\right)=5 \textcolor{Red}{\text{ (1'')}}\cr \cr y=-3\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{5-9}{2}=-2 \textcolor{Red}{\text{ (1'')}}\cr \cr y=-3\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
Conclusion
Le système admet pour unique solution le couple \left(-2 ; -3\right).
La résolution graphique d'équations
Exactitude des solutions par résolution graphique
Les solutions d'une équation déterminées par une méthode graphique sont toujours des valeurs approchées. Le seul moyen d'avoir une valeur exacte est de résoudre l'équation algébriquement.
f\left(x\right) = a
Solutions de f\left(x\right)=a
Les solutions de l'équation f\left(x\right) = a sont les éventuels antécédents de a par f, qui correspondent aux abscisses des points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est égale à a.
On détermine graphiquement les solutions de l'équation f\left(x\right) = a en relevant les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a avec la courbe représentative de f.
L'équation f\left(x\right) = 2 admet trois solutions : 0,5, 2,13 et 3,9.
f\left(x\right) = g\left(x\right)
Solutions de f(x) = g(x)
Les solutions de l'équation f\left(x\right) = g\left(x\right) sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f avec celle de g.
L'équation f\left(x\right) = g\left(x\right) admet deux solutions : 0,5 et 2.