Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès permet d'obtenir l'égalité entre trois rapports de longueur. Ainsi, on peut s'en servir afin de déterminer des longueurs ou bien pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles. Il s'utilise dans une configuration de triangles emboîtés ou bien en configuration « papillon ».
L'énoncé du théorème de Thalès
Soient trois points A, M et B alignés dans cet ordre, et trois points A, N et C alignés dans cet ordre. Si (MN) // (BC), alors on a : \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}.
Le théorème de Thalès
Soient (MB) et (NC) deux droites sécantes en un point A.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Dans les deux configurations représentées sur les schémas suivants, on a :
- M\in (AB) et N\in (AC) ;
- (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, dans ces deux configurations on a :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Lorsque la configuration correspond à des triangles emboîtés, on parle d'une configuration « en triangles emboîtés ».
Dans l'autre configuration, on parle d'une configuration « papillon ».
L'utilisation du théorème de Thalès pour calculer des longueurs
On peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs.
Ce théorème permet de calculer une longueur dans l'une de ces configurations, si l'on connaît les autres.
On considère un triangle ABC et deux points M et N tels que :
- M\in [AB] et N\in [AC] ;
- (MN) et (BC) sont parallèles.
On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente.
On sait que :
- ABC est un triangle avec M\in\left[ AB \right] et N\in\left[ AC \right].
- Les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on obtient :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
D'où :
\dfrac{3{,}3}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}
On en déduit que :
\dfrac{3{,}3}{AB}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}
Puis avec le produit en croix, on calcule :
AB= \dfrac{3{,}3\times3{,}5}{2{,}5}=4{,}62\ \text{cm}
L'utilisation du théorème de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles
On peut utiliser le théorème de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Le théorème de Thalès permet également de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
On cherche à montrer que dans la configuration ci-dessus, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A.
Les points M, A et B sont dans le même ordre que les points N, A et C.
On a donc :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{3{,}5}=\dfrac{16}{14}
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4{,}2}{4}=\dfrac{14{,}7}{14}
\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{AN}{AC}
Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, alors, d'après le théorème de Thalès, on aurait :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
Or :
\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{AN}{AC}
Les droites (MN) et (BC) ne sont donc pas parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès
Lorsqu'on utilise la réciproque du théorème de Thalès, on part de l'égalité des rapports de longueur pour arriver au parallélisme des droites. On peut l'appliquer dans une configuration de triangles emboîtés, ou bien en configuration « papillon ». La réciproque du théorème permet de montrer le parallélisme de deux droites.
Réciproque du théorème de Thalès
Soient (MB) et (NC) deux droites sécantes en un point A.
Si :
- les quotients \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC} sont égaux ;
- les points A, M, B et A, N, C sont dans le même ordre.
Alors les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
On veut démontrer que les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A.
Les points B, A, M et C, A, N sont alignés dans cet ordre.
De plus, on a :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{2{,}4}=\dfrac56
Et :
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2{,}5}{3}=\dfrac56
Donc :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont donc parallèles.
Le lien entre le théorème de Thalès et les homothéties
Que la configuration soit celle de triangles emboîtés ou une configuration « papillon », lorsqu'on peut appliquer le théorème de Thalès, les triangles qui apparaissent sont homothétiques. Autrement dit, il existe une homothétie permettant d'obtenir l'un des triangles à partir de l'autre.
On considère un triangle ABC et deux points M et N tels que :
- M\in (AB) et N\in (AC) ;
- (MN) et (BC) sont parallèles.
On considère l'homothétie de centre A et de rapport k, avec :
- k=\dfrac{AM}{AB} si les triangles AMN et ABC sont emboîtés.
- Et k=-\dfrac{AM}{AB} si les triangles AMN et ABC sont en configuration « papillon ».
Alors l'image du triangle ABC par cette homothétie est le triangle (AMN).
On considère un triangle ABC et deux points M et N tels que :
- M\in (AB) et N\in (AC) ;
- (MN) et (BC) sont parallèles.
On se propose de déterminer la longueur AM de la figure précédente.
On sait que :
- ABC est un triangle avec M\in\left( AB \right) et N\in\left( AC \right).
- Les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on obtient :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Autrement dit :
AN=AC\times \dfrac{AM}{AB}
MN=BC\times \dfrac{AM}{AB}
On a donc :
AM=AB\times \dfrac{AM}{AB}
L'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport \dfrac{AM}{AB} est le triangle AMN.
Soient AMN et ABC deux triangles ayant un sommet commun, A.
Si le triangle AMN est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre A, alors les deux triangles sont en configuration de Thalès.
De plus, les droites (MN) et (BC) sont nécessairement parallèles.
Soient trois points O, A et B.
On considère les images A' et B' des points A et B par l'homothétie de centre O et de rapport 2.
Le triangle OA'B' est donc l'image du triangle OAB par cette homothétie.
Les deux triangles OAB et OA'B' sont donc en configuration de Thalès.
Les droites (A'B') et (AB) sont donc parallèles.