Les angles orientés
Les radians
Radian
Le radian est une unité de mesure angulaire, notée \text{rad} et définie par :
\pi \text{ rad} = 180^\circ
A partir de ce chapitre, tous les angles sont exprimés par défaut en radians.
Les mesures remarquables suivantes sont à connaître :
| Radians | 0 | \dfrac{\pi }{6} | \dfrac{\pi }{4} | \dfrac{\pi }{3} | \dfrac{\pi }{2} | \pi | 2\pi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 360 |
La longueur de l'arc de cercle de rayon R et d'angle \alpha rad est égale à :
\alpha R
Le cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right). On désigne les points I \left(1 ; 0\right) et J \left(0 ; 1\right).
Cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1, et dont le sens positif est le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
Chaque point A du cercle peut être associé à un réel égal à la longueur de l'arc de cercle \overset{\frown}{IA} .
Deux réels a et b peuvent être associés au même point du cercle, si et seulement s'il existe un entier k tel que : a - b = 2k\pi . Le réel a est alors égal au réel b modulo 2\pi et on note : a = b \left[2\pi \right].
\dfrac{8\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{6\pi}{3}=2\pi.
Ainsi on peut écrire :
\dfrac{8\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\left[ 2\pi \right].
Les réels \dfrac{8\pi}{3} et \dfrac{2\pi}{3} sont donc associés au même point du cercle trigonométrique.
Le sens indirect correspond au sens négatif.
L'angle orienté de deux vecteurs
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right).
Angle orienté
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls.
On appelle angle orienté des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} le couple \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right).
Mesure de l'angle orienté
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls. Soient M et N les points du cercle trigonométrique tels que :
- \overrightarrow{OM} est colinéaire à \overrightarrow{u} et de même sens
- \overrightarrow{ON} est colinéaire à \overrightarrow{v} et de même sens
Soient x et y deux réels associés aux points M et N du cercle trigonométrique. On appelle mesure de l'angle orienté \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) le réel y-x.
Si \alpha est une mesure de l'angle orienté \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right), alors pour tout entier k, le réel \alpha+2k\pi est également une mesure de l'angle orienté \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right). On dit que l'angle orienté \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) a pour mesure \alpha\left[ 2\pi \right], et on note :
\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=\alpha\left[ 2\pi \right]
Le triangle ABC est équilatéral donc \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} \right)=\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right].
On a également \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)=-\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
Mesure principale
Soient deux vecteurs non nuls \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
On appelle mesure principale de l'angle \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right) son unique mesure comprise dans l'intervalle (d'amplitude 2\pi ) :
\left]- \pi ; \pi \right]
Soit l'angle orienté \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{7\pi }{2}\left[2\pi \right]
Le réel \dfrac{7\pi }{2} étant supérieur à \pi , il ne s'agit pas de la mesure principale de l'angle \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right). Pour la déterminer, on soustrait une première fois la valeur 2\pi :
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{7\pi }{2}-\dfrac{4\pi }{2}=\dfrac{3\pi }{2}\left[ 2\pi \right]
Le réel \dfrac{3\pi }{2} étant également supérieur à \pi , on soustrait une nouvelle fois la valeur 2\pi :
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{4\pi }{2}=-\dfrac{\pi }{2}\left[ 2\pi \right]
De plus :
-\dfrac{\pi}{2}\in \left]- \pi ; \pi \right]
La mesure principale de l'angle \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right) est donc -\dfrac{\pi }{2}.
Un angle orienté admet une infinité de mesures, toutes égales modulo 2\pi .
Propriétés des angles orientés
Relation de Chasles
Soient trois vecteurs non nuls \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}. Alors :
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right) + \left(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}\right) =\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{w}\right)\left[ 2\pi \right]
D'après la relation de Chasles :
\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE} \right)=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC} \right)+\left( \overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD} \right)+\left( \overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE} \right)\left[ 2\pi \right] (ou +2k\pi avec k\in\mathbb{Z})
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls.
\left(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{u}\right)=-\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)\left[ 2\pi \right]
Si on a :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
Dans ce cas, on a :
\left(\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls, a et b deux réels non nuls.
Si ab\gt0
\left(a\overrightarrow{u} ; b\overrightarrow{v}\right)=\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)\left[ 2\pi \right]
Si ab\lt0
\left(a\overrightarrow{u} ; b\overrightarrow{v}\right)=\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)+\pi\left[ 2\pi \right]
Soit \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{5}\left[ 2\pi \right].
On a :
\left(-5\overrightarrow{AB} ; -\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)\left[ 2\pi \right] car -5\times\left( -\dfrac13 \right)\gt0
Donc,
\left(-5\overrightarrow{AB} ; -\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{5}\left[ 2\pi \right]
En revanche :
\left(5\overrightarrow{AB} ; -\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)+\pi\left[ 2\pi \right] car 5\times\left( -\dfrac13 \right)\lt0
Donc,
\left(5\overrightarrow{AB} ; -\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{5}+\pi\left[ 2\pi \right]=\dfrac{4\pi}{5}\left[ 2\pi \right]
Le cosinus et le sinus
Caractérisation sur le cercle trigonométrique
Coordonnées d'un point
Soient un réel x et M le point du cercle trigonométrique associé à x. Les coordonnées de M dans le repère sont :
M \text{ } \left( \cos\left(x\right) ; \sin\left(x\right) \right)
Autrement dit, on a :
\overrightarrow{OM} = \cos\left(x\right) \overrightarrow{i} + \sin\left(x\right) \overrightarrow{j}
Pour tout réel x :
\cos^{2}\left(x\right) + \sin^{2}\left(x\right) = 1
\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}=1
Pour tout réel x :
- 1 \leq \cos\left(x\right) \leq 1
- 1 \leq \sin\left(x\right) \leq 1
Pour tout réel x et pour tout entier k :
\cos\left(x + 2k\pi \right) = \cos\left(x\right)
\sin\left(x + 2k\pi \right) = \sin\left(x\right)
\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
Les valeurs remarquables
Les valeurs remarquables de cos et sin sont les suivantes :
| x | 0 | \dfrac{\pi }{6} | \dfrac{\pi }{4} | \dfrac{\pi }{3} | \dfrac{\pi }{2} |
|---|---|---|---|---|---|
| \sin\left(x\right) | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | 1 |
| \cos\left(x\right) | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 |
Les formules des angles associés
Pour tout réel x :
\cos\left(- x\right) = \cos\left(x\right) et \sin\left(- x\right) = - \sin\left(x\right)
\cos\left(\pi - x\right) = - \cos\left(x\right) et \sin\left(\pi - x\right) = \sin\left(x\right)
\cos\left(\pi + x\right) = - \cos\left(x\right) et \sin\left(\pi + x\right) = - \sin\left(x\right)
\cos\left(\dfrac{\pi }{2} - x\right) = \sin\left(x\right) et \sin\left(\dfrac{\pi }{2} - x\right) = \cos\left(x\right)
\cos\left(\dfrac{\pi }{2} + x\right) = -\sin\left(x\right) et \sin\left(\dfrac{\pi }{2} + x\right) = \cos\left(x\right)
\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}
\sin\left(\dfrac{-7\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)
Formules d'addition et de duplication
Formules d'addition
Pour tous réels a et b :
\cos\left(a-b\right)=\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
\sin\left(a-b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)-\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
On remarque que :
\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4} \right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)+\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)
On a donc :
\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\times \dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}
Formules de duplication
Pour tout réel x :
\begin{aligned}\cos\left(2x\right)&=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right) \\ &= 2\cos^2\left(x\right)-1 \\ &= 1-2\sin^2\left(x\right)\end{aligned}
De plus :
\sin\left(2x\right)=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)
\sin\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)= \sin\left( 2\times \dfrac{\pi}{3} \right)=2 \sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=2\times \dfrac{\sqrt3}{2}\times \dfrac12=\dfrac{\sqrt3}{2}
Les équations trigonométriques
\cos\left(x\right) = \cos\left(a\right)
Equation de la forme \cos\left(x\right) = \cos\left(a\right)
Soit un réel a. On a :
\cos\left(x\right)=\cos\left(a\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x = a \left[2\pi \right] \cr ou\cr x = - a \left[2\pi \right] \end{cases}
C'est-à-dire :
\cos\left(x\right)=\cos\left(a\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x = a+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \cr ou\cr x = - a+2k\pi,k\in \mathbb{Z} \end{cases}
On se propose de résoudre l'équation \cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) dans \mathbb{R}.
Les solutions sont les réels x définis par :
- x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi avec k\in\mathbb{Z}
- x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi avec k\in\mathbb{Z}
\sin\left(x\right) = \sin\left(a\right)
Equation de la forme \sin\left(x\right) = \sin\left(a\right)
Soit un réel a
\sin\left(x\right)=\sin\left(a\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x = a \left[2\pi \right] \cr ou\cr x = \pi- a \left[2\pi \right] \end{cases}
C'est-à-dire :
\sin\left(x\right)=\sin\left(a\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x = a+2k\pi, k\in\mathbb{Z} \cr ou\cr x = \pi-a+2k\pi, k\in\mathbb{Z} \end{cases}
On se propose de résoudre l'équation \sin\left(x\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) dans \mathbb{R}.
Les solutions sont les réels x tels que :
- x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi avec k\in\mathbb{Z}
- x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi avec k\in\mathbb{Z}
Si on a une équation du type \cos\left(x\right)=\sin\left(a\right) ou \sin\left(x\right)=\cos\left(a\right), on peut se ramener à une équation des deux types précédents en utilisant des angles associés.
- On peut, par exemple, remplacer \sin\left(a\right) par \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right). L'équation devient \cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right).
- On peut également remplacer \cos\left(a\right) par \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right). L'équation devient \sin\left(x\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right).