Une infinité de réels peuvent avoir la même image sur le cercle trigonométrique, s'ils sont égaux à 2k\pi près (k\in \mathbb{Z}).
Montrer que \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont la même image sur le cercle trigonométrique .
Réciter le cours
Deux réels x_1 et x_2 ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de 2\pi.
Les deux réels \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de 2\pi.
Calculer la différence entre les deux mesures
On calcule x_2-x_1.
On calcule la différence entre les deux angles :
\dfrac{2\pi}{5} -\left(-\dfrac{128\pi}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{5} +\dfrac{128\pi}{5} =\dfrac{130\pi}{5} = 26 \pi
Conclure
On conclut :
- Si x_2-x_1=2k\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors les deux réels x_1 et x_2 ont la même image sur le cercle trigonométrique.
- Si x_2-x_1\neq2k\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors les deux réels x_1 et x_2 n'ont pas la même image sur le cercle trigonométrique.
Or :
26 \pi = 13 \times 2 \pi
Les réels \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont donc la même image sur le cercle trigonométrique.