Afin de résoudre une équation de type \cos \left(kx\right) = a sur un intervalle I, on se ramène à une équation du type \cos \left(kx\right) = \cos \left(\alpha\right) puis on s'aide du cercle trigonométrique afin de déterminer les solutions appartenant à I.
Résoudre l'équation \cos \left(2x\right) = -\dfrac {1}{2} sur \mathbb{R}.
Se ramener à une équation du type \cos\left(kx\right)=\cos\left(\alpha\right)
Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \cos\left(kx\right) = \cos\left(\alpha\right) à l'aide des valeurs remarquables de cos.
On remarque que :
-\dfrac{1}{2} = \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
L'équation devient donc :
\cos\left(2x\right) = \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
Énoncer les différentes solutions
On trace la droite d'équation x = a sur le cercle trigonométrique.
L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \cos\left(kx\right) = \cos\left(\alpha\right) .
On en déduit que :
\cos\left(kx\right) =\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} kx = \alpha +k2\pi \cr \cr kx=-\alpha +k2\pi \end{cases}
On trace la droite x =-\dfrac{1}{2} sur le cercle trigonométrique.
On en déduit que, pour tout réel x :
\cos\left(2x\right) =\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} 2x = \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \cr \cr 2x=-\dfrac{2\pi}{3} +2k\pi \end{cases}, k\in\mathbb{Z}
Donc, pour tout réel x :
\cos\left(2x\right) =\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{3}+k\pi \cr \cr x=-\dfrac{\pi}{3} +k\pi \end{cases}, k\in\mathbb{Z}
Conclure
On conclut en donnant les solutions appartenant à l'intervalle I.
Ici, on cherche les solutions sur \mathbb{R}. On en conclut que :
S =\left\{ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z} ; \dfrac{\pi}{3}+k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z} \right\}