Les exponentielles de base q
Définitions
Fonction exponentielle de base q
Soit q un réel strictement positif. La fonction qui, à tout entier relatif n, associe q^n, se prolonge en une fonction définie sur \mathbb{R}. On note q^x l'image d'un réel x et on appelle fonction exponentielle de base q la fonction f définie par :
f\left(x\right) = q^{x}
La fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3^x est la fonction exponentielle de base 3.
Racine n-ième
Pour tout entier naturel non nul n et q réel strictement positif, on appelle racine n-ième de q le réel :
q^{\frac1n}
On a alors :
\left( q^{\frac1n} \right)^n = q
Le nombre 6^{\frac14} est la racine quatrième de 6.
La relation fonctionnelle
Relation fonctionnelle
Pour tous réels x, y quelconques et q strictement positif :
q^{x+y} = q^x \times q^y
7^3\times 7^6=7^{3+6}=7^9
Les propriétés algébriques
Soient q et q' deux réels strictement positifs, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :
q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}
\left(q\right)^x\times \left(q'\right) ^x=\left(qq'\right)^x
\left(q^x\right)^y=q^{xy}
\dfrac{q^x}{q^y}=q^{x-y}
7^{-3{,}2}=\dfrac{1}{7^{3{,}2}}
2^{4{,}2}\times 3^{4{,}2}=\left(2\times3\right)^{4{,}2}=6^{4{,}2}
\left(4{,}5^2\right)^3=4{,}5^{2\times3}=4{,}5^6
\dfrac{1{,}6^7}{1{,}6^5}=1{,}6^{7-5}=1{,}6^2
Le sens de variation
Sens de variation
Le sens de variation d'une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :
- Si q \gt 1, la fonction exponentielle de base q est croissante sur \mathbb{R}
- Si 0\lt q \lt 1, la fonction exponentielle de base q est décroissante sur \mathbb{R}
- Si q = 1, la fonction exponentielle de base q est constante sur \mathbb{R}
Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est convexe sur \mathbb{R}.
L'exponentielle de base e
La caractérisation
Fonction exponentielle de base e
La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée \exp, est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\exp\left(x\right) = e^{x}
où e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1.
- Pour tous réels x et y : \exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)
- e=\exp\left(1\right) \approx 2{,}718.
Le signe
Pour tout réel x :
e^{x} \gt 0
Les propriétés algébriques
Soient deux réels x et y :
e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y
e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y
Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :
e^{x+y} = e^{x} e^{y}
e^{-x} =\dfrac{1}{e^x}
e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^{y}}
\left(e^{x}\right)^{y} = e^{xy}
Etude de la fonction exponentielle
La dérivée
Dérivée
La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}. Pour tout réel x, on a :
\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}
Dérivée de e^{u}
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée e^{u} est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :
\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}
Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^{3x+6}. f est définie et dérivable sur \mathbb{R}. On pose, pour tout réel x :
- u\left(x\right)=3x+6
- u'\left(x\right)=3
On a f=e^u, donc f'=u'e^u.
Ainsi, pour tout réel x :
f'\left(x\right)=3e^{3x+6}
Le sens de variation
Sens de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
La droite d'équation y = x + 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.
La fonction exponentielle est convexe.