Lorsqu'on exploite la 2e loi de Newton dans le but de déterminer l'équation du mouvement d'un système, il est nécessaire de déterminer les composantes du vecteur vitesse initiale.
On considère un système ayant une vitesse initiale \overrightarrow{v_0} conformément à la figure suivante :
Quelles sont les composantes du vecteur vitesse initiale du système ?
Représenter les composantes du vecteur vitesse initiale
On représente les composantes du vecteur vitesse initiale sur la figure donnée.
On note généralement v_{0x} et v_{0y} les composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} :
\overrightarrow{v_0} \begin{cases} v_{0x} \cr \cr v_{0y} \end{cases}
Ces composantes sont obtenues par projection du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} sur chacun des axes :
Exprimer la composante horizontale du vecteur vitesse initiale
On exprime la composante horizontale du vecteur vitesse initiale en fonction de l'angle \alpha et de la vitesse initiale v_0 en utilisant la figure donnée et en appliquant une formule de trigonométrie.
Sur la figure donnée, on repère que la composante horizontale du vecteur vitesse initiale correspond au côté adjacent de l'angle \alpha dans le triangle dont l'hypoténuse a pour valeur v_0.
D'où :
\cos (\alpha) = \dfrac{v_{0x}}{v_0}
Soit :
v_{0x} = v_0 \times \cos (\alpha)
Si la composante horizontale du vecteur vitesse initiale est orientée dans le sens opposé à l'axe horizontal du repère donné, sa valeur est négative. Il faut donc multiplier par « -1 » l'expression déterminée par trigonométrie.
Dans la situation ci-dessous, la composante horizontale du vecteur vitesse initiale est :
v_{0x} =- v_0 \times \cos (\alpha)
Si la composante verticale du vecteur vitesse initiale est orientée dans le sens opposé à l'axe vertical du repère donné, sa valeur est négative. Il faut donc multiplier par « -1 » l'expression déterminée par trigonométrie.
Dans la situation ci-dessous, la composante verticale du vecteur vitesse initiale est :
v_{0y} =- v_0 \times \sin (\alpha)
Exprimer la composante verticale du vecteur vitesse initiale
On exprime la composante verticale du vecteur vitesse initiale en fonction de l'angle \alpha et de la vitesse initiale v_0 en utilisant la figure donnée et en appliquant une formule de trigonométrie.
Sur la figure donnée, on repère que la composante verticale du vecteur vitesse initiale correspond au côté opposé de l'angle \alpha dans le triangle dont l'hypoténuse a pour valeur v_0.
D'où :
\sin (\alpha) = \dfrac{v_{0y}}{v_0}
Soit :
v_{0y} = v_0 \times \sin (\alpha)
Conclure en donnant les expressions des deux composantes du vecteur vitesse initiale
On conclut en donnant les expressions des deux composantes du vecteur vitesse initiale.
Les deux composantes du vecteur vitesse initiale sont donc :
\overrightarrow{v_0} \begin{cases} v_{0x}=v_0 \times \cos(\alpha) \cr \cr v_{0y}=v_0 \times \sin(\alpha) \end{cases}