Sommaire
1Connaitre les différentes dérivées 2Identifier dans les composantes les grandeurs qui sont constantes 3En déduire les composantes du vecteur vitesseLes composantes du vecteur vitesse d'un système peuvent être obtenues en dérivant par rapport au temps celles du vecteur position.
Les composantes du vecteur position d'un système sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_{\left(t\right)}}\begin{cases} x_{\left(t\right)}=v_0\times\cos\left(\alpha\right)\times t\cr \cr y_{\left(t\right)}=-\dfrac{1}{2}\times g \times t^2+v_0\times\sin\left(\alpha\right)\times t+h \end{cases}
En déduire les composantes du vecteur vitesse de ce système.
Connaitre les différentes dérivées
Les dérivées qu'il faut savoir déterminer sont toujours les mêmes (A, B et C étant des constantes qui ne dépendent pas du temps).
| Type de fonction | Expression de la dérivée |
| f(t) = C | \dfrac{df}{dt} = 0 |
| f(t) = B \times t + C | \dfrac{df}{dt} = B |
| f(t) =A \times t^2 + B \times t + C | \dfrac{df}{dt} = 2 \times A \times t + B |
Identifier dans les composantes les grandeurs qui sont constantes
Afin de dériver correctement les composantes, on doit identifier les grandeurs qui sont constantes, ne dépendant donc pas du temps.
Dans les composantes de ce vecteur position, les grandeurs qui sont des constantes sont :
- La vitesse initiale v_0 ;
- L'angle \alpha et donc aussi son cosinus et son sinus ;
- L'intensité de la pesanteur g ;
- L'altitude initiale h.
En déduire les composantes du vecteur vitesse
On en déduit les composantes du vecteur vitesse du système en dérivant par rapport au temps celles de son vecteur position.
Les dérivées par rapport au temps des différents termes sont les suivantes :
| Terme | Dérivée |
| v_0\times\cos\left(\alpha\right)\times t | v_0\times\cos\left(\alpha\right) |
| -\dfrac{1}{2}\times g \times t^2 | -g \times t |
| v_0\times\sin\left(\alpha\right)\times t | v_0\times\sin\left(\alpha\right) |
| h | 0 |
On obtient ainsi les composantes suivantes :
\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}\begin{cases} v_{x\left(t\right)}=v_0\times\cos\left(\alpha\right)\cr \cr v_{y\left(t\right)}=- g \times t+v_0\times\sin\left(\alpha\right)\end{cases}